Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $AB=2a,SA=\sqrt{3}a$ (minh họa hình vẽ). Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $BM$ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{3}a}{4}.$
B. $\dfrac{2\sqrt{93}a}{31}.$
C. $\dfrac{2a}{3}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD,N$ là trung điểm của $BC,DN$ cắt $AC$ tại $I$.
$\Rightarrow AC=2a\sqrt{2},OI=\dfrac{OC}{3}=\dfrac{AC}{6}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3},SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=a.$
$O.SID$ là tam diện vuông tại $O$
$\Rightarrow \dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( O,\left( SID \right) \right)}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{6}{{{a}^{2}}}.$
$\Rightarrow d\left( O,\left( SID \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.$
$BM//BN\Rightarrow BM//\left( SID \right)\Rightarrow d\left( BM,SD \right)=d\left( B,\left( SID \right) \right)=2d\left( O,\left( SID \right) \right)=2.\dfrac{a\sqrt{6}}{6}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
A. $\dfrac{3\sqrt{3}a}{4}.$
B. $\dfrac{2\sqrt{93}a}{31}.$
C. $\dfrac{2a}{3}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD,N$ là trung điểm của $BC,DN$ cắt $AC$ tại $I$.
$\Rightarrow AC=2a\sqrt{2},OI=\dfrac{OC}{3}=\dfrac{AC}{6}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3},SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=a.$
$O.SID$ là tam diện vuông tại $O$
$\Rightarrow \dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( O,\left( SID \right) \right)}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{6}{{{a}^{2}}}.$
$\Rightarrow d\left( O,\left( SID \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.$
$BM//BN\Rightarrow BM//\left( SID \right)\Rightarrow d\left( BM,SD \right)=d\left( B,\left( SID \right) \right)=2d\left( O,\left( SID \right) \right)=2.\dfrac{a\sqrt{6}}{6}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Đáp án D.