Cho hình chóp đều $S.ABCD$ cạnh đáy bằng $a$, $d(S,\left(ABCD\right))={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$. Góc giữa mặt phẳng $\left( SBC...

Hình chóp $S.ABCD$ là chóp đều nên gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ ta suy ra $SO\mathrm{\perp }\left(ABCD\right),$ do đó $d(S,\left(ABCD\right))=SO$ hay ta có $SO={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}.$
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ ta có $\{\begin{array}{rl}& OI\mathrm{\perp }BC\\ & SI\mathrm{\perp }BC\end{array}$ suy ra góc giữa mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ là góc $\widehat{SIO}.$
Ta có $\tan \widehat{SIO}={\displaystyle \frac{SO}{IO}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}}{{\displaystyle \frac{a}{2}}}}=\sqrt{3},$ do vậy $\widehat{SIO}={60}^0.$
Vậy góc giữa mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ bằng ${60}^0.$