Cho hình chóp đều $S . A B C$ có đáy là tam giác đều cạnh $a .$ Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $S B, S C .$ Biết mặt phẳng $\left( AEF...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp đều

S . A B C

có đáy là tam giác đều cạnh

a .

Gọi

E, F

lần lượt là trung điểm của các cạnh

S B, S C .

Biết mặt phẳng

(A E F)

vuông góc với mặt phẳng

(S B C)

. Tính thể tích khối chóp

S . A B C

.
A.

\frac{a^{3} \sqrt{5}}{24} .

B.

\frac{a^{3} \sqrt{5}}{8} .

C.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} .

D.

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{12} .

Gọi

M

là trung điểm của

B C

và

H

là trọng tâm của tam giác

A B C

.
Ta có

S . A B C

là chóp đều

\Rightarrow S H ⊥ (A B C) .

Gọi

S M \cap E F = N .

Ta có

B C ⊥ A M, B C ⊥ S M \Rightarrow B C ⊥ (S A M) \Rightarrow B C ⊥ A N

.
Lại có

E F / / B C \Rightarrow E F ⊥ A N

và

S N ⊥ E F

.
Mặt khác

(A E F) \cap (S B C) = E F, (A E F) ⊥ (S B C) = ((A E F), (S B C)) = \hat{S N A} = 90^{0}

\Rightarrow A N ⊥ S M,

mà

N

là trung điểm của

S M \Rightarrow Δ A S M

cân tại

A

\Rightarrow A S = A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

Xét tam giác

S H A

vuông tại

H

, có

S A = \frac{a \sqrt{3}}{2}, A H = \frac{2}{3} A M = \frac{a \sqrt{3}}{3}

\Rightarrow S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{15}}{6} .

Ta có

S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .

Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{Δ A B C} . S H = \frac{a^{3} \sqrt{5}}{24} .

Đáp án A.

Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,SC. Biết mặt phẳng $\left( AEF...