Cho hình chóp đều $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a.$ Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB,SC.$ Biết mặt phẳng $\left( AEF...

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
Ta có $S.ABC$ là chóp đều $\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right).$
Gọi $SM\cap EF=N.$
Ta có $BC\bot AM,BC\bot SM\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow BC\bot AN$.
Lại có $EF//BC\Rightarrow EF\bot AN$ và $SN\bot EF$.
Mặt khác $\left( AEF \right)\cap \left( SBC \right)=EF,\left( AEF \right)\bot \left( SBC \right)=\left( \left( AEF \right),\left( SBC \right) \right)=\widehat{SNA}={{90}^{0}}$
$\Rightarrow AN\bot SM,$ mà $N$ là trung điểm của $SM\Rightarrow \Delta ASM$ cân tại $A$
$\Rightarrow AS=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Xét tam giác $SHA$ vuông tại $H$, có $SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},AH=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{6}.$
Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{24}.$