Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $A.ABCD$ đáy là hình thoi tâm $I,$ cạnh $a,$ góc $\widehat{BAD}={{60}^{0}},$ hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng đáy là $M$ trung điểm của $BI,$ góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng ${{45}^{0}}.$ Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp đó.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{39}}{12}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{39}}{24}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{39}}{48}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{39}}{8}.$
$ABCD$ là hình thoi và $\widehat{BAD}={{60}^{0}}$ nên tam giác $ABD$ và $\Delta BCD$ là các tam giác đều.
Ta có $BD=a,MI=\dfrac{BD}{4}=\dfrac{a}{4}.$ Tam giác $BCD$ đều cạnh $a$ nên $CI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ suy ra $AC=a\sqrt{3}.$
Khi đó $MC=\sqrt{M{{I}^{2}}+I{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}.$
Ta có $SM\bot \left( ABCD \right)$ nên $MC$ là hình chiếu của $SC$ lên $\left( ABCD \right)$.
Suy ra $\left( SC,\left( ABCD \right) \right)=\left( SC,MC \right)=\widehat{SCM}={{45}^{0}}$
Do đó $\Delta SMC$ vuông cân tại $M$ suy ra $SM=MC=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}.$
Vậy thể tích của khối chóp đã cho là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SM=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}.a.\dfrac{a\sqrt{13}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{39}}{24}$ (đvtt).
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{39}}{12}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{39}}{24}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{39}}{48}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{39}}{8}.$
$ABCD$ là hình thoi và $\widehat{BAD}={{60}^{0}}$ nên tam giác $ABD$ và $\Delta BCD$ là các tam giác đều.
Ta có $BD=a,MI=\dfrac{BD}{4}=\dfrac{a}{4}.$ Tam giác $BCD$ đều cạnh $a$ nên $CI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ suy ra $AC=a\sqrt{3}.$
Khi đó $MC=\sqrt{M{{I}^{2}}+I{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}.$
Ta có $SM\bot \left( ABCD \right)$ nên $MC$ là hình chiếu của $SC$ lên $\left( ABCD \right)$.
Suy ra $\left( SC,\left( ABCD \right) \right)=\left( SC,MC \right)=\widehat{SCM}={{45}^{0}}$
Do đó $\Delta SMC$ vuông cân tại $M$ suy ra $SM=MC=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}.$
Vậy thể tích của khối chóp đã cho là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SM=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}.a.\dfrac{a\sqrt{13}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{39}}{24}$ (đvtt).
Đáp án B.