Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)={{x}^{7}}+{{x}^{5}}-{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x-10$ và $g\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+2$. Đặt $F(x)=g[f(x)]$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình F(x)= mcó ba nghiệm thực phân biệt.
A. $m\in \left( -1;3 \right)$
B. $m\in \left( 0;4 \right)$
C. $m\in \left( 3;6 \right)$
D. $m\in \left( 1;3 \right)$
A. $m\in \left( -1;3 \right)$
B. $m\in \left( 0;4 \right)$
C. $m\in \left( 3;6 \right)$
D. $m\in \left( 1;3 \right)$
Phương pháp:
- Chứng minh hàm số f( x) luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$, đặt t= f( x) suy ra với mỗi giá trị của tcho 1 nghiệm xtương ứng.
- Đưa bài toán về ẩn t, lập BBT và kết luận.
Cách giải:
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{7}}+{{x}^{5}}-{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x-10$ ta có:
TXĐ: D= $\mathbb{R}$
Ta có: ${{f}^{\prime }}(x)=7{{x}^{6}}+5{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4x+2$
Xét hàm số $h\left( x \right)=5{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4x+2$ trên $\mathbb{R}$ ta có:
${{h}^{\prime }}(x)=20{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+6x-4=0\Leftrightarrow x\approx 0,62$
BBT:
Từ BBT ta thấy $h\left( x \right)>0\forall x\in \mathbb{R}~.~$ do đó $f'\left( x \right)>0\forall x\in \mathbb{R}$
Đặt f( x) = t, do hàm số f( x) đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên với mỗi giá trị của tcho ta 1 nghiệm x.
Khi đó $F\left( t \right)=g\left( t \right)={{t}^{3}}-3t+2.~$
Yêu cầu bài toán trở thành tìm tham số mđể phương trình F( t) = mcó 3 nghiệm tphân biệt.
Ta có ${{g}^{\prime }}(t)=3{{t}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
t=1 \\
t=-1 \\
\end{array} \right.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình F( t) = mcó 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m< 4 .
- Chứng minh hàm số f( x) luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$, đặt t= f( x) suy ra với mỗi giá trị của tcho 1 nghiệm xtương ứng.
- Đưa bài toán về ẩn t, lập BBT và kết luận.
Cách giải:
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{7}}+{{x}^{5}}-{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x-10$ ta có:
TXĐ: D= $\mathbb{R}$
Ta có: ${{f}^{\prime }}(x)=7{{x}^{6}}+5{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4x+2$
Xét hàm số $h\left( x \right)=5{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4x+2$ trên $\mathbb{R}$ ta có:
${{h}^{\prime }}(x)=20{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+6x-4=0\Leftrightarrow x\approx 0,62$
BBT:
Từ BBT ta thấy $h\left( x \right)>0\forall x\in \mathbb{R}~.~$ do đó $f'\left( x \right)>0\forall x\in \mathbb{R}$
Đặt f( x) = t, do hàm số f( x) đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên với mỗi giá trị của tcho ta 1 nghiệm x.
Khi đó $F\left( t \right)=g\left( t \right)={{t}^{3}}-3t+2.~$
Yêu cầu bài toán trở thành tìm tham số mđể phương trình F( t) = mcó 3 nghiệm tphân biệt.
Ta có ${{g}^{\prime }}(t)=3{{t}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
t=1 \\
t=-1 \\
\end{array} \right.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình F( t) = mcó 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m< 4 .
Đáp án B.