Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=x\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)-\sqrt{1+{{x}^{2}}}$. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ;+\infty \right)$.
B. Hàm số có đạo hàm ${y}'=\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)$.
C. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ;+\infty \right)$.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ;+\infty \right)$.
B. Hàm số có đạo hàm ${y}'=\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)$.
C. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ;+\infty \right)$.
Ta có: $\sqrt{1+{{x}^{2}}}>\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\Rightarrow x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}>x+\left| x \right|\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Và $1+{{x}^{2}}>0,\forall x\in \mathbb{R}$, do đó hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$. Suy ra phương án C đúng.
Đạo hàm ${y}'=\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)+x\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}{x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}}-\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}=\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)$. Suy ra phương án B đúng.
Trên khoảng $\left( 0 ;+\infty \right)$, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{1+{{x}^{2}}}>1 \\
& 1-x<1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \sqrt{1+{{x}^{2}}}>1-x $ hay $ x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}>1$.
Suy ra ${y}'=\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)>0,\forall x\in \left( 0 ;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ;+\infty \right)$.
Suy ra phương án A đúng, phương án D sai.
Đạo hàm ${y}'=\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)+x\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}{x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}}-\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}=\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)$. Suy ra phương án B đúng.
Trên khoảng $\left( 0 ;+\infty \right)$, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{1+{{x}^{2}}}>1 \\
& 1-x<1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \sqrt{1+{{x}^{2}}}>1-x $ hay $ x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}>1$.
Suy ra ${y}'=\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)>0,\forall x\in \left( 0 ;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ;+\infty \right)$.
Suy ra phương án A đúng, phương án D sai.
Đáp án D.