Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+2m-1$ có đồ thị là $\left( {{C}_{m}} \right)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $\left( {{C}_{m}} \right)$ có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành bốn đỉnh của một hình thoi.
A. Không có giá trị $m$.
B. $m=2+\sqrt{2}$ hoặc $m=2-\sqrt{2}$.
C. $m=4+\sqrt{2}$ hoặc $m=4-\sqrt{2}$.
D. $m=1+\sqrt{2}$ hoặc $m=-1+\sqrt{2}$.
A. Không có giá trị $m$.
B. $m=2+\sqrt{2}$ hoặc $m=2-\sqrt{2}$.
C. $m=4+\sqrt{2}$ hoặc $m=4-\sqrt{2}$.
D. $m=1+\sqrt{2}$ hoặc $m=-1+\sqrt{2}$.
Phương pháp:
- Xác định các điểm cực trị của hàm số.
- Áp dụng tính chất hình thoi để giải tìm m.
Cách giải:
Hàm số y= ${{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+2m-1$ có đạo hàm là y' = $4{{x}^{3}}-2mx$
Cho ${{y}^{'}}=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-2mx=0\Leftrightarrow 2x\left( 2{{x}^{2}}-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{m}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình ${{x}^{2}}=\dfrac{m}{2}$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m⇒ > 0 .
Khi đó ta có: $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow y=2m-1 \\
& x=\sqrt{\dfrac{m}{2}}\Rightarrow y=-\dfrac{{{m}^{2}}}{4}+2m-1 \\
& x=-\sqrt{\dfrac{m}{2}}\Rightarrow y=-\dfrac{{{m}^{2}}}{4}+2m-1 \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $A\left( 0;2m-1 \right);B\left( \sqrt{\dfrac{m}{2}};-\dfrac{{{m}^{2}}}{4}+2m-1 \right);c\left( -\sqrt{\dfrac{m}{2};}-\dfrac{{{m}^{2}}}{4}+2m-1 \right)$
Dễ thấy ∆ ABC cân tại A. Để OBAC là hình thoi thì trung điểm OA của cũng là trung điểm của BC.
Gọi I là trung điểm của OA⇒ I $\left( 0;m-\dfrac{1}{2} \right)$
I là trung điểm của BC $\Rightarrow -\dfrac{{{m}^{2}}}{4}+2m-1=m-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{2}}}{4}+m-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow m-2\pm \sqrt{2} \left( tm \right)$
- Xác định các điểm cực trị của hàm số.
- Áp dụng tính chất hình thoi để giải tìm m.
Cách giải:
Hàm số y= ${{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+2m-1$ có đạo hàm là y' = $4{{x}^{3}}-2mx$
Cho ${{y}^{'}}=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-2mx=0\Leftrightarrow 2x\left( 2{{x}^{2}}-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{m}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình ${{x}^{2}}=\dfrac{m}{2}$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m⇒ > 0 .
Khi đó ta có: $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow y=2m-1 \\
& x=\sqrt{\dfrac{m}{2}}\Rightarrow y=-\dfrac{{{m}^{2}}}{4}+2m-1 \\
& x=-\sqrt{\dfrac{m}{2}}\Rightarrow y=-\dfrac{{{m}^{2}}}{4}+2m-1 \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $A\left( 0;2m-1 \right);B\left( \sqrt{\dfrac{m}{2}};-\dfrac{{{m}^{2}}}{4}+2m-1 \right);c\left( -\sqrt{\dfrac{m}{2};}-\dfrac{{{m}^{2}}}{4}+2m-1 \right)$
Dễ thấy ∆ ABC cân tại A. Để OBAC là hình thoi thì trung điểm OA của cũng là trung điểm của BC.
Gọi I là trung điểm của OA⇒ I $\left( 0;m-\dfrac{1}{2} \right)$
I là trung điểm của BC $\Rightarrow -\dfrac{{{m}^{2}}}{4}+2m-1=m-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{2}}}{4}+m-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow m-2\pm \sqrt{2} \left( tm \right)$
Đáp án B.