Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m$ có đồ thị là $\left( {{C}_{m}} \right)$ với $m$ là số thực. Giả sử $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt trục $Ox$ tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ.
Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}$ lần lượt là diện tích các miền gạch chéo được cho như hình vẽ. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị $m=\dfrac{a}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ tối giản sao cho ${{S}_{1}}+{{S}_{3}}={{S}_{2}}.$ Đặt $T=a+b.$ Mệnh đề nào đúng?
A. $T\in \left( 8;10 \right)$
B. $T\in \left( 10;13 \right)$
C. $T\in \left( 4;6 \right)$
D. $T\in \left( 6;8 \right)$
Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}$ lần lượt là diện tích các miền gạch chéo được cho như hình vẽ. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị $m=\dfrac{a}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ tối giản sao cho ${{S}_{1}}+{{S}_{3}}={{S}_{2}}.$ Đặt $T=a+b.$ Mệnh đề nào đúng?
A. $T\in \left( 8;10 \right)$
B. $T\in \left( 10;13 \right)$
C. $T\in \left( 4;6 \right)$
D. $T\in \left( 6;8 \right)$
Phương pháp:
Xét phương trình hoành độ giao điểm, đặt $t={{x}^{2}}$ đưa về phương trình bậc hai ẩn $t.$
- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn $t$ có 2 nghiệm dương phân biệt.
- Giả sử ${{t}_{1}}<{{t}_{2}}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (2) thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $-\sqrt{{{t}_{2}}}<-\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{2}}}$.
- Sử dụng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)$, đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}$ để tính ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}.$
- Thay vào giải phương trình ${{S}_{1}}+{{S}_{3}}={{S}_{2}}$ tìm ${{t}_{2}},$ từ đó tìm được $m$ và suy ra $a,b.$
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m=0\left( 1 \right).$
Đặt $t={{x}^{2}}$ ta có ${{t}^{2}}-3t+m=0\left( 2 \right).$
Vì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta =9-4m>0 \\
& S=3>0 \\
& P=m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<m<\dfrac{9}{4}.$
Giả sử ${{t}_{1}}<{{t}_{2}}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (2) thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $-\sqrt{{{t}_{2}}}<-\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{2}}}$.
Do tính đối xứng nên ta dễ có
${{S}_{1}}={{S}_{3}}=\int\limits_{\sqrt{{{t}_{1}}}}^{\sqrt{{{t}_{2}}}}{\left( -{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-m \right)dx}$
$=\left( -\dfrac{{{x}^{5}}}{5}+{{x}^{3}}-mx \right)\left| \begin{aligned}
& \sqrt{{{t}_{2}}} \\
& \sqrt{{{t}_{1}}} \\
\end{aligned} \right.$
$=-\dfrac{1}{5}\left( t_{2}^{2}\sqrt{{{t}_{2}}}-t_{1}^{2}\sqrt{{{t}_{1}}} \right)+\left( {{t}_{2}}\sqrt{{{t}_{2}}}-{{t}_{1}}\sqrt{{{t}_{1}}} \right)-m\left( \sqrt{{{t}_{2}}}-\sqrt{{{t}_{1}}} \right)$
${{S}_{2}}=\int\limits_{-\sqrt{{{t}_{1}}}}^{\sqrt{{{t}_{1}}}}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right)dx}=\left( \dfrac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{3}}+mx \right)\left| \begin{aligned}
& \sqrt{{{t}_{1}}} \\
& -\sqrt{{{t}_{1}}} \\
\end{aligned} \right.$
$=2\left( \dfrac{t_{1}^{2}\sqrt{{{t}_{1}}}}{5}-{{t}_{1}}\sqrt{{{t}_{1}}}+m\sqrt{{{t}_{1}}} \right)$
Theo bài ra ta có: ${{S}_{1}}+{{S}_{3}}=2{{S}_{2}}$
$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{5}\left( t_{2}^{2}\sqrt{{{t}_{2}}}-t_{1}^{2}\sqrt{{{t}_{1}}} \right)+\left( {{t}_{2}}\sqrt{{{t}_{2}}}-{{t}_{1}}\sqrt{{{t}_{1}}} \right)-m\left( \sqrt{{{t}_{2}}}-\sqrt{{{t}_{1}}} \right)=\dfrac{t_{1}^{2}\sqrt{{{t}_{1}}}}{5}-{{t}_{1}}\sqrt{{{t}_{1}}}+m\sqrt{{{t}_{1}}}$
$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{5}t_{2}^{2}\sqrt{{{t}_{2}}}+{{t}_{2}}\sqrt{{{t}_{2}}}-m\sqrt{{{t}_{2}}}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{t}_{2}}}\left( -\dfrac{1}{5}t_{2}^{2}+{{t}_{2}}-m \right)=0$
$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{5}t_{2}^{2}+{{t}_{2}}-m=0\left( 3 \right)$ (do ${{t}_{2}}>0$ )
Vì ${{t}_{2}}$ là nghiệm của phương trình (2) nên $t_{2}^{2}-3{{t}_{2}}+m=0\Leftrightarrow m=-t_{2}^{2}+3{{t}_{2}}.$
Thay vào (3) ta có:
$-\dfrac{1}{5}t_{2}^{2}+{{t}_{2}}+t_{2}^{2}-3{{t}_{2}}=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{4}{5}t_{2}^{2}-2{{t}_{2}}=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}_{2}}=0\left( ktm \right) \\
& {{t}_{2}}=\dfrac{5}{2}\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $m=-t_{2}^{2}+3{{t}_{2}}=-{{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+3.\dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{4}\left( tm \right)\Rightarrow a=5,b=4.$
Vậy $T=a+b=5+4=9\in \left( 8;10 \right).$
Xét phương trình hoành độ giao điểm, đặt $t={{x}^{2}}$ đưa về phương trình bậc hai ẩn $t.$
- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn $t$ có 2 nghiệm dương phân biệt.
- Giả sử ${{t}_{1}}<{{t}_{2}}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (2) thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $-\sqrt{{{t}_{2}}}<-\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{2}}}$.
- Sử dụng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)$, đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}$ để tính ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}.$
- Thay vào giải phương trình ${{S}_{1}}+{{S}_{3}}={{S}_{2}}$ tìm ${{t}_{2}},$ từ đó tìm được $m$ và suy ra $a,b.$
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m=0\left( 1 \right).$
Đặt $t={{x}^{2}}$ ta có ${{t}^{2}}-3t+m=0\left( 2 \right).$
Vì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta =9-4m>0 \\
& S=3>0 \\
& P=m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<m<\dfrac{9}{4}.$
Giả sử ${{t}_{1}}<{{t}_{2}}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (2) thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $-\sqrt{{{t}_{2}}}<-\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{2}}}$.
Do tính đối xứng nên ta dễ có
${{S}_{1}}={{S}_{3}}=\int\limits_{\sqrt{{{t}_{1}}}}^{\sqrt{{{t}_{2}}}}{\left( -{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-m \right)dx}$
$=\left( -\dfrac{{{x}^{5}}}{5}+{{x}^{3}}-mx \right)\left| \begin{aligned}
& \sqrt{{{t}_{2}}} \\
& \sqrt{{{t}_{1}}} \\
\end{aligned} \right.$
$=-\dfrac{1}{5}\left( t_{2}^{2}\sqrt{{{t}_{2}}}-t_{1}^{2}\sqrt{{{t}_{1}}} \right)+\left( {{t}_{2}}\sqrt{{{t}_{2}}}-{{t}_{1}}\sqrt{{{t}_{1}}} \right)-m\left( \sqrt{{{t}_{2}}}-\sqrt{{{t}_{1}}} \right)$
${{S}_{2}}=\int\limits_{-\sqrt{{{t}_{1}}}}^{\sqrt{{{t}_{1}}}}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right)dx}=\left( \dfrac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{3}}+mx \right)\left| \begin{aligned}
& \sqrt{{{t}_{1}}} \\
& -\sqrt{{{t}_{1}}} \\
\end{aligned} \right.$
$=2\left( \dfrac{t_{1}^{2}\sqrt{{{t}_{1}}}}{5}-{{t}_{1}}\sqrt{{{t}_{1}}}+m\sqrt{{{t}_{1}}} \right)$
Theo bài ra ta có: ${{S}_{1}}+{{S}_{3}}=2{{S}_{2}}$
$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{5}\left( t_{2}^{2}\sqrt{{{t}_{2}}}-t_{1}^{2}\sqrt{{{t}_{1}}} \right)+\left( {{t}_{2}}\sqrt{{{t}_{2}}}-{{t}_{1}}\sqrt{{{t}_{1}}} \right)-m\left( \sqrt{{{t}_{2}}}-\sqrt{{{t}_{1}}} \right)=\dfrac{t_{1}^{2}\sqrt{{{t}_{1}}}}{5}-{{t}_{1}}\sqrt{{{t}_{1}}}+m\sqrt{{{t}_{1}}}$
$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{5}t_{2}^{2}\sqrt{{{t}_{2}}}+{{t}_{2}}\sqrt{{{t}_{2}}}-m\sqrt{{{t}_{2}}}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{t}_{2}}}\left( -\dfrac{1}{5}t_{2}^{2}+{{t}_{2}}-m \right)=0$
$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{5}t_{2}^{2}+{{t}_{2}}-m=0\left( 3 \right)$ (do ${{t}_{2}}>0$ )
Vì ${{t}_{2}}$ là nghiệm của phương trình (2) nên $t_{2}^{2}-3{{t}_{2}}+m=0\Leftrightarrow m=-t_{2}^{2}+3{{t}_{2}}.$
Thay vào (3) ta có:
$-\dfrac{1}{5}t_{2}^{2}+{{t}_{2}}+t_{2}^{2}-3{{t}_{2}}=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{4}{5}t_{2}^{2}-2{{t}_{2}}=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}_{2}}=0\left( ktm \right) \\
& {{t}_{2}}=\dfrac{5}{2}\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $m=-t_{2}^{2}+3{{t}_{2}}=-{{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+3.\dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{4}\left( tm \right)\Rightarrow a=5,b=4.$
Vậy $T=a+b=5+4=9\in \left( 8;10 \right).$
Đáp án A.