Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3m-9$ có đồ thị là $\left( {{C}_{m}} \right)$. Gọi ${{m}_{0}}$ là giá trị của tham số msao cho đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt $A,B,C,D$ thỏa mãn ${{x}_{A}}<{{x}_{B}}<{{x}_{C}}<{{x}_{D}}$ và tam giác MACcó diện tích bằng 2 với $M\left( 5;1 \right)$. Khi đó giá trị m0thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 3;6 \right)$
B. $\left( 2;5 \right)$
C. $\left( 8;11 \right)$
D. $\left( 4;8 \right)$
Phương pháp:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Đặt $t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right)$, đưa phương trình hoành độ giao điểm về phương trình bậc hai ẩn t, tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm tdương phân biệt.
- Sử dụng công thức tính diện tích ${{S}_{MAC}}=\dfrac{1}{2}d\left( M;AC \right)AC$
- Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai.
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{4}}-2\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3m-9=0\left( 1 \right)~$
Đặt $t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right)$, phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-2\left( m-1 \right)t+3m-9=0\left( 2 \right).~$
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, khi đó phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-3m+9>0 \\
& S=2\left( m-1 \right)>0 \\
& P=3m-9>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-5m+10>0\left( luondung \right) \\
& m>1 \\
& m>3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>3$
Gọi ${{t}_{1}};{{t}_{2}}\left( {{t}_{1}}<{{t}_{2}} \right)$ là hai nghiệm dương phân biệt của phương trình (2), khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ${{x}_{A}}=-\sqrt{{{t}_{2}}};{{x}_{B}}=-\sqrt{{{t}_{1}}};{{x}_{C}}=\sqrt{{{t}_{1}}};{{x}_{D}}=\sqrt{{{t}_{2}}}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow A\left( -\sqrt{{{t}_{2}}};0 \right);C\left( \Leftrightarrow \sqrt{{{t}_{1}}};0 \right) \\
& \Rightarrow AC=\sqrt{{{\left( \sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{2}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{2}}} \\
\end{aligned}$
Ta có $d\left( M;AC \right)=d\left( M;Ox \right)=\left| {{y}_{M}} \right|=1.~$
$\Rightarrow {{S}_{MAC}}=\dfrac{1}{2}d\left( M;AC \right).AC=\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{2}}} \right).~$
Theo bài ra ta có: $\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{2}}} \right)=2\Leftrightarrow \sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{2}}}=4\Leftrightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}+2\sqrt{{{t}_{1}}{{t}_{2}}}=16$
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}\left( m-1 \right) \\
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}=3m-9 \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow 2\left( m-1 \right)+2\sqrt{3m-9}=16 \\
& \Leftrightarrow 2\sqrt{3m-9}=18-2m \\
& \Leftrightarrow \sqrt{3m-9}=9-m \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 9-m>0 \\
& 3m-9={{m}^{2}}-18m+81 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 9 \\
& {{m}^{2}}-21m+90=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 9 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m=15\Leftrightarrow m=6\left( tm m>3 \right) \\
& m=6 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Vậy ${{m}_{0}}=6\in \left( 4;8 \right)$.
A. $\left( 3;6 \right)$
B. $\left( 2;5 \right)$
C. $\left( 8;11 \right)$
D. $\left( 4;8 \right)$
Phương pháp:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Đặt $t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right)$, đưa phương trình hoành độ giao điểm về phương trình bậc hai ẩn t, tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm tdương phân biệt.
- Sử dụng công thức tính diện tích ${{S}_{MAC}}=\dfrac{1}{2}d\left( M;AC \right)AC$
- Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai.
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{4}}-2\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3m-9=0\left( 1 \right)~$
Đặt $t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right)$, phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-2\left( m-1 \right)t+3m-9=0\left( 2 \right).~$
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, khi đó phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-3m+9>0 \\
& S=2\left( m-1 \right)>0 \\
& P=3m-9>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-5m+10>0\left( luondung \right) \\
& m>1 \\
& m>3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>3$
Gọi ${{t}_{1}};{{t}_{2}}\left( {{t}_{1}}<{{t}_{2}} \right)$ là hai nghiệm dương phân biệt của phương trình (2), khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ${{x}_{A}}=-\sqrt{{{t}_{2}}};{{x}_{B}}=-\sqrt{{{t}_{1}}};{{x}_{C}}=\sqrt{{{t}_{1}}};{{x}_{D}}=\sqrt{{{t}_{2}}}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow A\left( -\sqrt{{{t}_{2}}};0 \right);C\left( \Leftrightarrow \sqrt{{{t}_{1}}};0 \right) \\
& \Rightarrow AC=\sqrt{{{\left( \sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{2}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{2}}} \\
\end{aligned}$
Ta có $d\left( M;AC \right)=d\left( M;Ox \right)=\left| {{y}_{M}} \right|=1.~$
$\Rightarrow {{S}_{MAC}}=\dfrac{1}{2}d\left( M;AC \right).AC=\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{2}}} \right).~$
Theo bài ra ta có: $\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{2}}} \right)=2\Leftrightarrow \sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{2}}}=4\Leftrightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}+2\sqrt{{{t}_{1}}{{t}_{2}}}=16$
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}\left( m-1 \right) \\
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}=3m-9 \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow 2\left( m-1 \right)+2\sqrt{3m-9}=16 \\
& \Leftrightarrow 2\sqrt{3m-9}=18-2m \\
& \Leftrightarrow \sqrt{3m-9}=9-m \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 9-m>0 \\
& 3m-9={{m}^{2}}-18m+81 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 9 \\
& {{m}^{2}}-21m+90=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 9 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m=15\Leftrightarrow m=6\left( tm m>3 \right) \\
& m=6 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Vậy ${{m}_{0}}=6\in \left( 4;8 \right)$.
Đáp án D.