Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( 1-{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}+m+1.$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu và...

Hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( 1-{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}+m+1={{\left( {{x}^{2}}-1+{{m}^{2}} \right)}^{2}}-{{m}^{4}}+2{{m}^{2}}+m$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4\left( 1-{{m}^{2}} \right)x=4x\left( {{x}^{2}}-1+{{m}^{2}} \right)$
$y'=0\Leftrightarrow 4x\left( {{x}^{2}}-1+{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=1-{{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow 1-{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}<1\Leftrightarrow -1<m<1$
Khi đó, các điểm cực trị của hàm số là $A\left( 0;m+1 \right);B\left( \sqrt{1-{{m}^{2}}};-{{m}^{4}}+2{{m}^{2}}+m \right);C\left( -\sqrt{1-{{m}^{2}}};-{{m}^{4}}+2{{m}^{2}}+m \right)$
$\overrightarrow{BC}=\left( -2\sqrt{1-{{m}^{2}}};0 \right)\Rightarrow BC=2\sqrt{1-{{m}^{2}}}$
Phương trình đường thẳng $BC$ là $y=-{{m}^{4}}+2{{m}^{2}}+m$ hay $y+{{m}^{4}}-2{{m}^{2}}-m=0$
$\Rightarrow $ Khoảng cách từ $A$ đến $BC$ là $d\left( A,BC \right)=\left| {{m}^{4}}-2{{m}^{2}}+1 \right|=\left| {{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}} \right|={{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}$
Diện tích $\Delta ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}BC.d\left( A,BC \right)=\sqrt{1-{{m}^{2}}}.{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}=\sqrt{{{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{5}}}\le 1$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${{m}^{2}}=0\Leftrightarrow m=0$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy khi $m=0$ thì hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn nhất.