Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-4$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu cặp điểm $A,B$ thuộc $\left( C \right)$ sao cho ba điểm $O,A,B$ thẳng hàng và $OA=2OB$ ( $O$ là gốc tọa độ)?
A. 2
B. 4
C. Vô số
D. 1
A. 2
B. 4
C. Vô số
D. 1
Phương pháp:
- Giả sử $A\left( a;{{a}^{3}}+{{a}^{2}}-4 \right),B\left( b;{{b}^{3}}+{{b}^{2}}-4 \right).$
- Vì $OA=2OB$ nên $\left[ \begin{aligned}
& \overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB} \\
& \overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OB} \\
\end{aligned} \right.$, giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
Cách giải:
Giả sử $A\left( a;{{a}^{3}}+{{a}^{2}}-4 \right),B\left( b;{{b}^{3}}+{{b}^{2}}-4 \right).$
- Vì $OA=2OB$ nên $\left[ \begin{aligned}
& \overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB} \\
& \overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OB} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left( a;{{a}^{3}}+{{a}^{2}}-4 \right)=2\left( b;{{b}^{3}}+{{b}^{2}}-4 \right) \\
& \left( a;{{a}^{3}}+{{a}^{2}}-4 \right)=-2\left( b+{{b}^{3}}+{{b}^{2}}-4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a=2b \\
& {{a}^{3}}+{{a}^{2}}-4=2{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}-8 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-2b \\
& {{a}^{3}}+{{a}^{2}}-4=-2{{b}^{3}}-2{{b}^{2}}+8 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a=2b \\
& 8{{b}^{3}}+4{{b}^{2}}-4=2{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}-8 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-2b \\
& -8{{b}^{3}}+4{{b}^{2}}-4=-2{{b}^{3}}-2{{b}^{3}}+8 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a=2b \\
& 6{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}+4=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-2b \\
& 6{{b}^{3}}-6{{b}^{2}}+12=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a-2b \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-2b \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có 2 cặp điểm $A,B$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Giả sử $A\left( a;{{a}^{3}}+{{a}^{2}}-4 \right),B\left( b;{{b}^{3}}+{{b}^{2}}-4 \right).$
- Vì $OA=2OB$ nên $\left[ \begin{aligned}
& \overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB} \\
& \overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OB} \\
\end{aligned} \right.$, giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
Cách giải:
Giả sử $A\left( a;{{a}^{3}}+{{a}^{2}}-4 \right),B\left( b;{{b}^{3}}+{{b}^{2}}-4 \right).$
- Vì $OA=2OB$ nên $\left[ \begin{aligned}
& \overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB} \\
& \overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OB} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left( a;{{a}^{3}}+{{a}^{2}}-4 \right)=2\left( b;{{b}^{3}}+{{b}^{2}}-4 \right) \\
& \left( a;{{a}^{3}}+{{a}^{2}}-4 \right)=-2\left( b+{{b}^{3}}+{{b}^{2}}-4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a=2b \\
& {{a}^{3}}+{{a}^{2}}-4=2{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}-8 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-2b \\
& {{a}^{3}}+{{a}^{2}}-4=-2{{b}^{3}}-2{{b}^{2}}+8 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a=2b \\
& 8{{b}^{3}}+4{{b}^{2}}-4=2{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}-8 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-2b \\
& -8{{b}^{3}}+4{{b}^{2}}-4=-2{{b}^{3}}-2{{b}^{3}}+8 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a=2b \\
& 6{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}+4=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-2b \\
& 6{{b}^{3}}-6{{b}^{2}}+12=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a-2b \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-2b \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có 2 cặp điểm $A,B$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.