Cho hàm số $y=x^3-m{x}^2-m^{2}x+8.$ Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?

Phương pháp giải:
- Giải phương trình $y^{\prime }=0$ xác định các giá trị cực trị theo m.
- Chia các TH, tìm các giá trị cực tiểu tương ứng và giải bất phương trình $y_{CT}<0$.
Giải chi tiết:
Ta có $y^{\prime }=3x^2-2mx-m^2$ ; $y^{\prime }=0$ có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2+3m^2=4m^2\ge 0\mathrm{\forall }m$.
Để hàm số có cực tiểu, tức là có 2 điểm cực trị thì phương trình $y^{\prime }=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow m\ne 0$
Khi đó ta có $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{m+2m}{3}}=m\Rightarrow y=-m^3+8\\ x={\displaystyle \frac{m-2m}{3}}=-{\displaystyle \frac{m}{3}}\iff y={\displaystyle \frac{5m^3}{27}}+8\end{array}$
Khi đó yêu cầu bài toán $\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}m>0\\ y_{CT}=-m^3+8>0\iff m<2\end{array}\\ \{\begin{array}{c}m<0\\ y_{CT}={\displaystyle \frac{5m^3}{27}}+8>0\iff m>-{\displaystyle \frac{6}{\sqrt[3]{5}}}\end{array}\end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}0<m<2\\ -{\displaystyle \frac{6}{\sqrt[3]{5}}}<m<0\end{array}$
Lại có $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-3;-2;-1;1\}$. Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.