Cho hàm số $y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-{{m}^{2}}x+8.$ Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?

Phương pháp giải:
- Giải phương trình ${y}'=0$ xác định các giá trị cực trị theo m.
- Chia các TH, tìm các giá trị cực tiểu tương ứng và giải bất phương trình ${{y}_{CT}}<0$.
Giải chi tiết:
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-2mx-{{m}^{2}}$ ; ${y}'=0$ có ${\Delta }'={{m}^{2}}+3{{m}^{2}}=4{{m}^{2}}\ge 0\forall m$.
Để hàm số có cực tiểu, tức là có 2 điểm cực trị thì phương trình ${y}'=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow m\ne 0$
Khi đó ta có ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=\dfrac{m+2m}{3}=m\Rightarrow y=-{{m}^{3}}+8 \\
x=\dfrac{m-2m}{3}=-\dfrac{m}{3}\Leftrightarrow y=\dfrac{5{{m}^{3}}}{27}+8 \\
\end{array} \right.$
Khi đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m>0 \\
{{y}_{CT}}=-{{m}^{3}}+8>0\Leftrightarrow m<2 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m<0 \\
{{y}_{CT}}=\dfrac{5{{m}^{3}}}{27}+8>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{6}{\sqrt[3]{5}} \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
0<m<2 \\
-\dfrac{6}{\sqrt[3]{5}}<m<0 \\
\end{array} \right.$
Lại có $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1;1 \right\}$. Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.