Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+\left(m-2 \right){{x}^{2}}+\left(m-2 \right)x+1$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ là
A. $3$.
B. $0$.
C. $4$.
D. $2$.
A. $3$.
B. $0$.
C. $4$.
D. $2$.
+) TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
+) ${y}'=3{{x}^{2}}+2\left( m-2 \right)x+m-2$.
Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ và dấu $''=''$ xảy ra tại hữu hạn điểm.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& {\Delta }'\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3>0 \\
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}-3\left( m-2 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left( m-2 \right)\left( m-5 \right)\le 0\Leftrightarrow 2\le m\le 5$.
Với $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 2;3;4;5 \right\}$.
Vậy có $4$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+) ${y}'=3{{x}^{2}}+2\left( m-2 \right)x+m-2$.
Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ và dấu $''=''$ xảy ra tại hữu hạn điểm.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& {\Delta }'\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3>0 \\
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}-3\left( m-2 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left( m-2 \right)\left( m-5 \right)\le 0\Leftrightarrow 2\le m\le 5$.
Với $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 2;3;4;5 \right\}$.
Vậy có $4$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.