Cho hàm số $y={{x}^{3}}-\left(m+1 \right){{x}^{2}}+x+2m+1$ có đồ thị $\left(C \right)$ ( $m$ là tham số thực). Gọi ${{m}_{1}},{{m}_{2}}$ là các...

Tập xác định : $D=R$. Ta có: ${{y}^{'}}=3{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+1$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $d$ là
$\begin{aligned}
& {{x}^{3}}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}+x+2m+1=x+m+1\quad \left( 1 \right) \\
& \Leftrightarrow {{x}^{3}}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}+m=0 \\
& \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-m\text{x}-m \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-m\text{x}-m=0.\quad \left( * \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Để đồ thị $\left( C \right)$ cắt đường thẳng $d$ tại ba điểm phân biệt $A,B,C$ thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tương đương với $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{m}^{2}}+4m>0 \\
& 1-m-m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m<-4 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ne \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right..$
Gọi ${{k}_{1}}, {{k}_{2}}, {{k}_{3}}$ lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $A,B,C$. Khi đó
${{k}_{1}}=3x_{1}^{2}-2\left( m+1 \right){{x}_{1}}+1;\quad {{k}_{2}}=3x_{2}^{2}-2\left( m+1 \right){{x}_{2}}+1;\quad {{k}_{3}}=2-2m$
trong đó ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*). Theo bài ra, ta có:
$\begin{aligned}
& {{k}_{1}}+{{k}_{2}}+{{k}_{3}}=19 \\
& \Leftrightarrow 3x_{1}^{2}-2\left( m+1 \right){{x}_{1}}+1+3x_{2}^{2}-2\left( m+1 \right){{x}_{2}}+1+2-2m=19 \\
& \Leftrightarrow 3{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-6{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( m+1 \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-15-2m=0.\quad \left( ** \right) \\
\end{aligned}$
Theo Viet cho phương trình (*) ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-m \\
\end{aligned} \right.$.
Thay vào (**) ta được: $\begin{aligned}
& 3{{m}^{2}}+6m-2m\left( m+1 \right)-15-2m=0 \\
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-15=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=-5 \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$
Kết hợp điều kiện vậy ${{m}_{1}}=3,\ {{m}_{2}}=-5\Rightarrow {{m}_{1}}+{{m}_{2}}=-2.$