Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-{{m}^{3}},$ với $m$ là tham số. Gọi $\left( C \right)$ là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi $m$ thay đổi, điểm cực tiểu của đồ thị $\left( C \right)$ luôn nằm trên đường thẳng cố định. Hệ số góc của đường thẳng $d$ bằng
A. $-\dfrac{1}{3}.$
B. 3.
C. $-3.$
D. $\dfrac{1}{3}.$
A. $-\dfrac{1}{3}.$
B. 3.
C. $-3.$
D. $\dfrac{1}{3}.$
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right).$
$y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m-1 \\
& x=m+1 \\
\end{aligned} \right..$
Vì hàm số có hệ số bậc ba dương nên hàm số có điểm cực tiểu ${{x}_{CT}}=m+1.$
Mặt khác ta lại có: $y=\left( x-m \right)\left[ {{\left( x-m \right)}^{2}}+3mx \right]-3mx\left( x-m \right)-3x$
Suy ra: ${{y}_{CT}}=\left( {{x}_{CT}}-m \right)\left[ {{\left( {{x}_{CT}}-m \right)}^{2}}+3m{{x}_{CT}} \right]-3m{{x}_{CT}}\left( {{x}_{CT}}-m \right)-3{{x}_{CT}}$
${{y}_{CT}}=\left[ 1+3m{{x}_{CT}} \right]-3m{{x}_{CT}}-3{{x}_{CT}}=1-3{{x}_{CT}}$
Vậy tọa độ điểm cực tiểu thỏa mãn phương trình đường thẳng $y=-3x+1$ hay đường thẳng $d$ có hệ số góc bằng $-3.$
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right).$
$y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m-1 \\
& x=m+1 \\
\end{aligned} \right..$
Vì hàm số có hệ số bậc ba dương nên hàm số có điểm cực tiểu ${{x}_{CT}}=m+1.$
Mặt khác ta lại có: $y=\left( x-m \right)\left[ {{\left( x-m \right)}^{2}}+3mx \right]-3mx\left( x-m \right)-3x$
Suy ra: ${{y}_{CT}}=\left( {{x}_{CT}}-m \right)\left[ {{\left( {{x}_{CT}}-m \right)}^{2}}+3m{{x}_{CT}} \right]-3m{{x}_{CT}}\left( {{x}_{CT}}-m \right)-3{{x}_{CT}}$
${{y}_{CT}}=\left[ 1+3m{{x}_{CT}} \right]-3m{{x}_{CT}}-3{{x}_{CT}}=1-3{{x}_{CT}}$
Vậy tọa độ điểm cực tiểu thỏa mãn phương trình đường thẳng $y=-3x+1$ hay đường thẳng $d$ có hệ số góc bằng $-3.$
Đáp án C.