Cho hàm số $y=x^3-3m{x}^2+3(m^2-1)x-m^3,$ với $m$ là tham số. Gọi $\left(C\right)$ là đồ thị của hàm số đã...

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $y^{\prime }=3x^2-6mx+3(m^2-1).$
$y^{\prime }=0\iff x^2-2mx+m^2-1=0\iff [\begin{array}{rl}& x=m-1\\ & x=m+1\end{array}.$
Vì hàm số có hệ số bậc ba dương nên hàm số có điểm cực tiểu $x_{CT}=m+1.$
Mặt khác ta lại có: $y=(x-m)[{(x-m)}^2+3mx]-3mx(x-m)-3x$
Suy ra: $y_{CT}=(x_{CT}-m)[{(x_{CT}-m)}^2+3m{x}_{CT}]-3m{x}_{CT}(x_{CT}-m)-3x_{CT}$
$y_{CT}=[1+3m{x}_{CT}]-3m{x}_{CT}-3x_{CT}=1-3x_{CT}$
Vậy tọa độ điểm cực tiểu thỏa mãn phương trình đường thẳng $y=-3x+1$ hay đường thẳng $d$ có hệ số góc bằng $-3.$