Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-1$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=6.$
A. 1.
B. $-3.$
C. 3.
D. $-1.$
A. 1.
B. $-3.$
C. 3.
D. $-1.$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x+m$
Hàm số đã cho có cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Hay: $\Delta '=9-3m>0\Leftrightarrow m<3.\left( 1 \right)$
Khi đó $y'=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{m}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Theo bài ra: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=6\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=6\Leftrightarrow {{2}^{2}}-\dfrac{2m}{3}=6\Leftrightarrow m=-3$ (thỏa mãn (1)).
Vậy với $m=-3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x+m$
Hàm số đã cho có cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Hay: $\Delta '=9-3m>0\Leftrightarrow m<3.\left( 1 \right)$
Khi đó $y'=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{m}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Theo bài ra: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=6\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=6\Leftrightarrow {{2}^{2}}-\dfrac{2m}{3}=6\Leftrightarrow m=-3$ (thỏa mãn (1)).
Vậy với $m=-3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.