Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+1$ có đồ thị hàm số $\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=2x+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham...

Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Đưa phương trình về dạng tích một nhị thức và một tam thức bậc hai.
- Biện luận nghiệm của tam thức bậc hai.
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+1=2x+1$ $\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x=0$ $\Leftrightarrow x\left[ {{x}^{2}}-3x+m-2 \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
f\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+m-2=0\left( * \right) \\
\end{array} \right.$
Để (C) cắt đường thẳng $d:y=2x+1$ tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{\Delta }'=9-4m+8>0 \\
m-2\ne 0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m<\dfrac{17}{4} \\
m\ne 2 \\
\end{array} \right.$.
Mà $m$ là số nguyên dương $\Rightarrow m\in \left\{ 1;3;4 \right\}$.
Vậy có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.