Cho hàm số $y=x^3-3x^2+mx+1$ có đồ thị hàm số $\left(C\right)$ và đường thẳng $d:y=2x+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham...

Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Đưa phương trình về dạng tích một nhị thức và một tam thức bậc hai.
- Biện luận nghiệm của tam thức bậc hai.
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-3x^2+mx+1=2x+1$ $\iff x^3-3x^2+(m-2)x=0$ $\iff x[x^2-3x+m-2]=0$
$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ f\left(x\right)=x^2-3x+m-2=0(\ast )\end{array}$
Để (C) cắt đường thẳng $d:y=2x+1$ tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }=9-4m+8>0\\ m-2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<{\displaystyle \frac{17}{4}}\\ m\ne 2\end{array}$.
Mà $m$ là số nguyên dương $\Rightarrow m\in \{1;3;4\}$.
Vậy có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.