Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Có bao nhiêu số nguyên $b\in \left( -10;10 \right)$ để có đúng một tiếp tuyến...

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6x.$
Gọi $d$ là tiếp tuyến với $\left( C \right)$ và $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tiếp điểm.
$d:y-{{y}_{0}}=y'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow d:y-\left( x_{0}^{3}-3x_{0}^{2} \right)=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right).$
$B\left( 0;b \right)\in d\Leftrightarrow b-x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}=-{{x}_{0}}\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow 2x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+b=0\Leftrightarrow b=-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}.\left( 1 \right)$
Đặt $f\left( x \right)=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}.$ Ta có $f'\left( x \right)=-6{{x}^{2}}+6x.$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right..$
Bảng biến thiên

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ phương trình $\left( 1 \right)$ có duy nhất nghiệm ${{x}_{0}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b>1 \\
& b<0 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy có 17 số nguyên $b\in \left( -10;10 \right)$ thỏa yêu cầu bài toán.