Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $E$ là một điểm thuộc $\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $E$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm thứ hai F và diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $EF$ với $\left( C \right)$ bằng $\dfrac{27}{64}$. Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $F$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm thứ hai $Q$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $FQ$ với $\left( C \right)$ bằng
A. $\dfrac{27}{8}$.
B. $\dfrac{27}{4}$.
C. $\dfrac{459}{64}$.
D. $\dfrac{135}{64}$.
A. $\dfrac{27}{8}$.
B. $\dfrac{27}{4}$.
C. $\dfrac{459}{64}$.
D. $\dfrac{135}{64}$.
Bổ đề. Ta có:
$\begin{aligned}
& I=\int\limits_{a}^{b}{{{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x-b \right)}dx=\dfrac{{{\left( x-a \right)}^{2}}{{\left( x-b \right)}^{2}}}{2}|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{\left( x-a \right){{\left( x-b \right)}^{2}}dx=}-\int\limits_{a}^{b}{\left( x-a \right){{\left( x-b \right)}^{2}}dx} \\
& \to 2I=\int\limits_{a}^{b}{\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( b-a \right)dx} \\
& TH:b>a\to \int\limits_{a}^{b}{\left| \left( x-a \right)\left( x-b \right) \right|}=\sqrt{\dfrac{{{\Delta }^{3}}}{36}}=\sqrt{\dfrac{{{\left[ {{\left( a+b \right)}^{2}}-4ab \right]}^{3}}}{36}}=\dfrac{{{\left| b-a \right|}^{3}}}{6}\Rightarrow I=-\dfrac{{{\left( b-a \right)}^{4}}}{12} \\
& TH:b<a\to -\int\limits_{a}^{b}{\left| \left( x-a \right)\left( x-b \right) \right|}=\sqrt{\dfrac{{{\vartriangle }^{3}}}{36}}=\sqrt{\dfrac{{{\left[ {{\left( a+b \right)}^{2}}-4ab \right]}^{3}}}{36}}=\dfrac{{{\left| b-a \right|}^{3}}}{6}\Rightarrow I=-\dfrac{{{\left( b-a \right)}^{4}}}{12} \\
\end{aligned}$
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y={{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x-b \right)$, trục Ox, đường thẳng $x=a;x=b$ là $S=\left| \int\limits_{a}^{b}{{{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x-b \right)} \right|=-I=\dfrac{{{\left( b-a \right)}^{4}}}{12}$
Phương trình tiếp tuyến tại E là $y=f'({{x}_{E}})\left( x-{{x}_{E}} \right)+f({{x}_{E}})$
Tiếp tuyến cắt đồ thị tại điểm F, vì tiếp tuyến tại E tiếp xúc với đồ thị nên có nghiệm kép là ${{x}_{E}}$.
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3=f'({{x}_{E}})\left( x-{{x}_{E}} \right)+f({{x}_{E}})\Rightarrow {{\left( x-{{x}_{E}} \right)}^{2}}\left( x+2{{x}_{E}}-3 \right)=0$ $\Rightarrow {{x}_{F}}+2{{x}_{E}}-3=0$
Ta có:
$S=\dfrac{27}{64}\Rightarrow \dfrac{{{\left( 3{{x}_{C}}-3 \right)}^{4}}}{12}=\dfrac{27}{64}\Rightarrow {{\left( {{x}_{C}}-1 \right)}^{4}}=\dfrac{1}{16};{{S}_{1}}=\dfrac{{{\left( 3{{x}_{D}}-3 \right)}^{4}}}{12}=\dfrac{{{\left( 3\left( 3-2{{x}_{C}} \right)-3 \right)}^{4}}}{12}=\dfrac{{{6}^{4}}{{\left( {{x}_{C}}-1 \right)}^{4}}}{12}=\dfrac{27}{4}$
$\begin{aligned}
& I=\int\limits_{a}^{b}{{{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x-b \right)}dx=\dfrac{{{\left( x-a \right)}^{2}}{{\left( x-b \right)}^{2}}}{2}|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{\left( x-a \right){{\left( x-b \right)}^{2}}dx=}-\int\limits_{a}^{b}{\left( x-a \right){{\left( x-b \right)}^{2}}dx} \\
& \to 2I=\int\limits_{a}^{b}{\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( b-a \right)dx} \\
& TH:b>a\to \int\limits_{a}^{b}{\left| \left( x-a \right)\left( x-b \right) \right|}=\sqrt{\dfrac{{{\Delta }^{3}}}{36}}=\sqrt{\dfrac{{{\left[ {{\left( a+b \right)}^{2}}-4ab \right]}^{3}}}{36}}=\dfrac{{{\left| b-a \right|}^{3}}}{6}\Rightarrow I=-\dfrac{{{\left( b-a \right)}^{4}}}{12} \\
& TH:b<a\to -\int\limits_{a}^{b}{\left| \left( x-a \right)\left( x-b \right) \right|}=\sqrt{\dfrac{{{\vartriangle }^{3}}}{36}}=\sqrt{\dfrac{{{\left[ {{\left( a+b \right)}^{2}}-4ab \right]}^{3}}}{36}}=\dfrac{{{\left| b-a \right|}^{3}}}{6}\Rightarrow I=-\dfrac{{{\left( b-a \right)}^{4}}}{12} \\
\end{aligned}$
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y={{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x-b \right)$, trục Ox, đường thẳng $x=a;x=b$ là $S=\left| \int\limits_{a}^{b}{{{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x-b \right)} \right|=-I=\dfrac{{{\left( b-a \right)}^{4}}}{12}$
Phương trình tiếp tuyến tại E là $y=f'({{x}_{E}})\left( x-{{x}_{E}} \right)+f({{x}_{E}})$
Tiếp tuyến cắt đồ thị tại điểm F, vì tiếp tuyến tại E tiếp xúc với đồ thị nên có nghiệm kép là ${{x}_{E}}$.
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3=f'({{x}_{E}})\left( x-{{x}_{E}} \right)+f({{x}_{E}})\Rightarrow {{\left( x-{{x}_{E}} \right)}^{2}}\left( x+2{{x}_{E}}-3 \right)=0$ $\Rightarrow {{x}_{F}}+2{{x}_{E}}-3=0$
Ta có:
$S=\dfrac{27}{64}\Rightarrow \dfrac{{{\left( 3{{x}_{C}}-3 \right)}^{4}}}{12}=\dfrac{27}{64}\Rightarrow {{\left( {{x}_{C}}-1 \right)}^{4}}=\dfrac{1}{16};{{S}_{1}}=\dfrac{{{\left( 3{{x}_{D}}-3 \right)}^{4}}}{12}=\dfrac{{{\left( 3\left( 3-2{{x}_{C}} \right)-3 \right)}^{4}}}{12}=\dfrac{{{6}^{4}}{{\left( {{x}_{C}}-1 \right)}^{4}}}{12}=\dfrac{27}{4}$
Đáp án B.