Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$. Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( 1;0 \right)$ ?
A. 2
B. 0
C. 1
D. 3
A. 2
B. 0
C. 1
D. 3
Phương pháp giải:
- Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$.
- Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là $y={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)$.
- Cho $A\left( 1;0 \right)\in d$, giải phương trình tìm số nghiệm ${{x}_{0}}$. Số nghiệm ${{x}_{0}}$ chính là số tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( 1;0 \right)$ cần tìm.
Giải chi tiết:
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6x$.
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là $y=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2\left( d \right)$.
Cho $A\left( 1;0 \right)\in d$ ta có:
$0=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( 1-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2$
$\Leftrightarrow 0=3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}}-3x_{0}^{3}+6x_{0}^{2}+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2$ $\Leftrightarrow 0=-2x_{0}^{3}-6{{x}_{0}}+2$ $\Leftrightarrow {{x}_{0}}\approx 0,32$
Vậy có duy nhất 1 tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $A\left( 1;0 \right)$.
- Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$.
- Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là $y={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)$.
- Cho $A\left( 1;0 \right)\in d$, giải phương trình tìm số nghiệm ${{x}_{0}}$. Số nghiệm ${{x}_{0}}$ chính là số tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( 1;0 \right)$ cần tìm.
Giải chi tiết:
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6x$.
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là $y=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2\left( d \right)$.
Cho $A\left( 1;0 \right)\in d$ ta có:
$0=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( 1-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2$
$\Leftrightarrow 0=3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}}-3x_{0}^{3}+6x_{0}^{2}+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2$ $\Leftrightarrow 0=-2x_{0}^{3}-6{{x}_{0}}+2$ $\Leftrightarrow {{x}_{0}}\approx 0,32$
Vậy có duy nhất 1 tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $A\left( 1;0 \right)$.
Đáp án C.