Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$. Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm $A(1;0)$ ?

Phương pháp giải:
- Gọi $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$.
- Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại $M(x_0;y_0)$ là $y=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)+f\left(x_0\right)$.
- Cho $A(1;0)\in d$, giải phương trình tìm số nghiệm $x_0$. Số nghiệm $x_0$ chính là số tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm $A(1;0)$ cần tìm.
Giải chi tiết:
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x$.
Gọi $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M(x_0;y_0)$ là $y=(3x_0^2-6x_0)(x-x_0)+x_0^3-3x_0^2+2\left(d\right)$.
Cho $A(1;0)\in d$ ta có:
$0=(3x_0^2-6x_0)(1-x_0)+x_0^3-3x_0^2+2$
$\iff 0=3x_0^2-6x_0-3x_0^3+6x_0^2+x_0^3-3x_0^2+2$ $\iff 0=-2x_0^3-6x_0+2$ $\iff x_0\approx 0,32$
Vậy có duy nhất 1 tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $A(1;0)$.