Cho hàm số $y={{x}^{3}}-2\left(m+1 \right){{x}^{2}}+\left(5m+1 \right)x-2m-2$ có đồ thị $\left({{C}_{m}} \right)$ với $m$ là tham số. Tập $S$ là...

* Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và $Ox:{{x}^{3}}-2\left(m+1 \right){{x}^{2}}+\left(5m+1 \right)x-2m-2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& {{x}^{2}}-2mx+m+1=0\left(* \right) \\
\end{aligned} \right.$
* Để đồ thị cắt $Ox$ tại 3 điểm phân biệt $\left(* \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác 2
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{m}^{2}}-m-1>0 \\
& 5-3m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\
& m<\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ne \dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right.\text{ }\left(1 \right)$
* Gọi $B\left({{x}_{1}}; 0 \right), C\left({{x}_{2}}; 0 \right)$, trong đó ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của $\left(* \right).$
$B, C$ có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$
$\Leftrightarrow \left(x_{1}^{2}-1 \right)\left(x_{2}^{2}-1 \right)<0\Leftrightarrow {{\left({{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{\left({{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1<0$
$\Leftrightarrow {{\left(m+1 \right)}^{2}}-4{{m}^{2}}+2m+3<0\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+4m+4<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<-\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.\left(2 \right)$
Kết hợp (1), (2) suy ra $\left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<-\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Mà $m\in \left(-2021; 2021 \right)\cap \mathbb{Z}$ suy ra $m\in \left\{ -2020;-2019;...;-1; 3;... 2020 \right\}.$