Cho hàm số $y=m{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+1$. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên R?

Phương pháp giải:
- Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì ${y}'\le 0\forall x\in \mathbb{R}$
- Xét 2 TH: $m=0$ và $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m<0 \\
{\Delta }'\le 0 \\
\end{array} \right.$.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: ${y}'=3m{{x}^{2}}+2mx-m-1$.
Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì ${y}'\le 0\forall x\in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow 3m{{x}^{2}}+2mx-m-1\le 0\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m=0 \\
-1\le 0\forall x\in \mathbb{R}\left( luondung \right) \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m<0 \\
{\Delta }'={{m}^{2}}+3m\left( m+1 \right)\le 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m=0 \\
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m<0 \\
4{{m}^{2}}+3m\le 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m=0 \\
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m<0 \\
-\dfrac{3}{4}\le m\le 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m=0 \\
-\dfrac{3}{4}\le m<0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{3}{4}\le m\le 0$