Cho hàm số $y=\ln x$ có đồ thị $\left(C\right)$ như hình vẽ...

Đường thẳng đi qua $C(0;1)$ và song song với trục hoành cắt đồ thị $(C)$ tại $B(e;1)$.
Gọi $(d)$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại $B(e;1)$ thì phương trình $(d)$ là $y={\displaystyle \frac{x}{e}}$.
$(C)$ tiếp xúc với đường tròn tâm $A$ tại $B(e;1)$ thì $(d)$ là tiếp tuyến chung của $(C)$ và đường tròn tâm $A$. $AB\mathrm{\perp }(d)\Rightarrow A(e+{\displaystyle \frac{1}{e}};0)$.
Hình thang $ABCO$ có: $OA=e+{\displaystyle \frac{1}{e}};CB=e;OC=1$.
Vậy $S_{ABCO}={\displaystyle \frac{(OA+CB)OC}{2}}=e+{\displaystyle \frac{1}{2e}}\approx 2,91.$