Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y=\left\{x2-1x-1 khi x<1ax+1 khi x=1x2-1x-1 khi x<1ax+1 khi x=1\right.}$. Tìm ${a}$ để hàm số liên tục trên ${\mathbb{R}}$.
A. ${a=\dfrac{1}{2}.}$
B. ${a=1.}$
C. ${a=-1.}$
D. ${a=3.}$
A. ${a=\dfrac{1}{2}.}$
B. ${a=1.}$
C. ${a=-1.}$
D. ${a=3.}$
Tập xác định của hàm số là $D=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left[ 1;+\infty \right)=\mathbb{R}$
• Trên $\left( -\infty ;1 \right):$ ta có $y=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x-1}$ là hàm số phân thức có mẫu số khác 0 nên hàm số liên tục trên $\left( -\infty ;1 \right).$
• Trên $\left( 1;+\infty \right):$ ta có $y=ax+1$ là một hàm số đa thức nên hàm số liên tục trên $\left( 1;+\infty \right).$
Do đó hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại điểm $x=1$
• Tại điểm $x=1$ :
${{\lim }_{x\to {{1}^{-}}}}y={{\lim }_{x\to {{1}^{-}}}}\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x-1}={{\lim }_{x\to {{1}^{-}}}}\left( x+1 \right)=1+1=2$
${{\lim }_{x\to {{1}^{+}}}}y={{\lim }_{x\to {{1}^{+}}}}\left( ax+1 \right)=a.1+1=a+1$
$y\left( 1 \right)=a.1+1=a+1$
Hàm số liên tục tại điểm $x=1\Leftrightarrow {{\lim }_{x\to {{1}^{-}}}}y={{\lim }_{x\to {{1}^{+}}}}y=y\left( 1 \right)\Leftrightarrow a+1=2\Leftrightarrow a=1$
• Trên $\left( -\infty ;1 \right):$ ta có $y=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x-1}$ là hàm số phân thức có mẫu số khác 0 nên hàm số liên tục trên $\left( -\infty ;1 \right).$
• Trên $\left( 1;+\infty \right):$ ta có $y=ax+1$ là một hàm số đa thức nên hàm số liên tục trên $\left( 1;+\infty \right).$
Do đó hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại điểm $x=1$
• Tại điểm $x=1$ :
${{\lim }_{x\to {{1}^{-}}}}y={{\lim }_{x\to {{1}^{-}}}}\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x-1}={{\lim }_{x\to {{1}^{-}}}}\left( x+1 \right)=1+1=2$
${{\lim }_{x\to {{1}^{+}}}}y={{\lim }_{x\to {{1}^{+}}}}\left( ax+1 \right)=a.1+1=a+1$
$y\left( 1 \right)=a.1+1=a+1$
Hàm số liên tục tại điểm $x=1\Leftrightarrow {{\lim }_{x\to {{1}^{-}}}}y={{\lim }_{x\to {{1}^{+}}}}y=y\left( 1 \right)\Leftrightarrow a+1=2\Leftrightarrow a=1$
Đáp án B.