Cho hàm số $y={{\left( x+m \right)}^{3}}-3\left( x+m \right)+1+n.$...

Cách giải:
Ta có: $y'=3{{\left( x+m \right)}^{2}}-3.$
Suy ra: $y'=0\Leftrightarrow 3{{\left( x+m \right)}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+m=1 \\
& x+m=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1-m \\
& x=-1-m \\
\end{aligned} \right..$
Bảng xét dấu $y'$

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1-m;1-m \right).$
Hàm số nghịch biến trên trên khoảng $\left( 0;2 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1-m\le 0 \\
& 1-m\ge 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -1 \\
& m\le -1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-1.$
Với $m=-1$ ta có $y={{\left( x-1 \right)}^{3}}-3\left( x-1 \right)+1+n;y'=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}-3.$
$y'=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2\notin \left[ -1;1 \right] \\
& x=0\in \left[ -1;1 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $y\left( -1 \right)=n-1,y\left( 0 \right)=n+3,y\left( 1 \right)=n+1.$
Suy ra $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} y=n+3.$
$\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} y=4\Leftrightarrow n+3=4\Leftrightarrow n=1.$
Vậy $m+n=\left( -1 \right)+1=0.$