Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3m \right|$ với $m$ là tham số. Biết rằng có đúng hai giá trị ${{m}_{1}},{{m}_{2}}$ của $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ bằng 2021. Tính giá trị $\left| {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right|$.
A. $\dfrac{8}{3}$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{4052}{3}$.
D. $\dfrac{4051}{3}$.
A. $\dfrac{8}{3}$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{4052}{3}$.
D. $\dfrac{4051}{3}$.
Đặt $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3m$. Ta có ${f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4x=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.$.
$f\left( -1 \right)=f\left( 1 \right)=3m-1,\ f\left( 0 \right)=3m,\ f\left( 2 \right)=3m+8$.
Do $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} y=2021$ nên trên $\left[ -1;2 \right]$ đồ thị hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3m$ không cắt trục $Ox$ trên $\left[ -1;2 \right]$.
Ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: $3m-1>0\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{3}$. Khi đó $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} y=\left| 3m-1 \right|=3m-1=2021\Rightarrow m=\dfrac{2022}{3}$.
Trường hợp 2: $3m+8<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{8}{3}$. Khi đó $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} y=\left| 3m+8 \right|=-3m-8=2021\Rightarrow m=-\dfrac{2029}{3}$.
Vậy $\left| {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right|=\left| \dfrac{2022}{3}+\dfrac{2029}{3} \right|=\dfrac{4051}{3}$.
& x=0 \\
& x=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.$.
$f\left( -1 \right)=f\left( 1 \right)=3m-1,\ f\left( 0 \right)=3m,\ f\left( 2 \right)=3m+8$.
Do $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} y=2021$ nên trên $\left[ -1;2 \right]$ đồ thị hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3m$ không cắt trục $Ox$ trên $\left[ -1;2 \right]$.
Ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: $3m-1>0\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{3}$. Khi đó $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} y=\left| 3m-1 \right|=3m-1=2021\Rightarrow m=\dfrac{2022}{3}$.
Trường hợp 2: $3m+8<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{8}{3}$. Khi đó $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} y=\left| 3m+8 \right|=-3m-8=2021\Rightarrow m=-\dfrac{2029}{3}$.
Vậy $\left| {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right|=\left| \dfrac{2022}{3}+\dfrac{2029}{3} \right|=\dfrac{4051}{3}$.
Đáp án D.