Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\left| {{x}^{3}}+\left( m+2 \right){{x}^{2}}+mx-{{m}^{2}} \right|$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thoả mãn $\left| m-1 \right|<5$ để hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị?
A. 6.
B. 3.
C. 5.
D. 4.
A. 6.
B. 3.
C. 5.
D. 4.
Hàm số $y=\left| {{x}^{3}}+\left( m+2 \right){{x}^{2}}+mx-{{m}^{2}} \right|$ có 5 điểm cực trị $\Leftrightarrow y={{x}^{3}}+\left( m+2 \right){{x}^{2}}+mx-{{m}^{2}}$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành $\Leftrightarrow $ ${{x}^{3}}+\left( m+2 \right){{x}^{2}}+mx-{{m}^{2}}=0 \left( 1 \right)$ có ba nghiệm phân biệt.
Ta có ${{x}^{3}}+\left( m+2 \right){{x}^{2}}+mx-{{m}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left( x+m \right)\left( {{x}^{2}}+2x-m \right)=0$ $\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-m \\
& {{x}^{2}}+2x-m=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Để $\left( 1 \right)$ có ba nghiệm phân biệt thì $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+1>0 \\
& {{m}^{2}}-3m\ne 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-1 \\
& m\ne 0,m\ne 3 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $m$ nguyên và $-4<m<6$ nên suy ra $m\in \left\{ 1; 2; 4; 5 \right\}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Ta có ${{x}^{3}}+\left( m+2 \right){{x}^{2}}+mx-{{m}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left( x+m \right)\left( {{x}^{2}}+2x-m \right)=0$ $\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-m \\
& {{x}^{2}}+2x-m=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Để $\left( 1 \right)$ có ba nghiệm phân biệt thì $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+1>0 \\
& {{m}^{2}}-3m\ne 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-1 \\
& m\ne 0,m\ne 3 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $m$ nguyên và $-4<m<6$ nên suy ra $m\in \left\{ 1; 2; 4; 5 \right\}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án D.