Cho hàm số $y={{\left( {{x}^{3}}-3x-m+1 \right)}^{2}}$. Tổng tất...

Đặt $t=g(x)={{x}^{3}}-3x+1$ là hàm số xác định và liên tục trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$.
Ta khảo sát hàm số $g(x)$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$.
Bảng biến thiên của $g(x)$
Từ bảng biến thiên ta thấy $x\in \left[ -1;1 \right]$ thì $t\in \left[ -3;1 \right]$
Bài toán trở thành: Tìm $m$ để hàm số $y=f\left( t \right)={{\left( t-m \right)}^{2}}$ có giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ -3;1 \right]$ bằng $4$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=2\left( t-m \right)=0\Leftrightarrow t=m$.
Nếu $m\in \left[ -3;1 \right]$ thì $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( m \right)=0$, tức là không tồn tại $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nếu $m>1$ thì $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( 1 \right)={{\left( 1-m \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{(1-m)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 (KTM) \\
& m=3 (TM) \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $m<-3$ thì $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( -3 \right)={{\left( -3-m \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{(-3-m)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-5 (TM) \\
& m=-1 (KTM) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán: $m=3;m=-5$, từ đó tổng tất cả các giá trị của $m$ là $-2$.