Cho hàm số $y=\left| {{x}^{2}}-2x-4\sqrt{\left( x+1 \right)\left( 3-x \right)}+m-3 \right|.$ Tính tổng tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số...

Xét $g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-4\sqrt{\left( x+1 \right)\left( 3-x \right)}+m-3$
TXĐ: $D=\left[ -1;3 \right],g\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ -1;3 \right].$
Đặt $t=\sqrt{\left( x+1 \right)\left( 3-x \right)}=\sqrt{-{{x}^{2}}+2x+3}\Rightarrow t'=\dfrac{-x+1}{\sqrt{-{{x}^{2}}+2x+3}}$
Cho $t'=0\Leftrightarrow -x+1=0\Leftrightarrow x=1$ (nhận)

$t\in \left[ 0;2 \right].$
Khi đó: $g\left( t \right)=-{{t}^{2}}-4t+m,\forall t\in \left[ 0;2 \right].$
$g'\left( t \right)=-2t-4$
Cho $g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-2$ (loại)
Khi đó
$\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }} y=\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left\{ \left| m \right|;\left| m-12 \right| \right\}=2020$
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& \left| m \right|>\left| m-2 \right| \\
& \left| m \right|=2020 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=2020$
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& \left| m \right|<\left| m-2 \right| \\
& \left| m-2 \right|=2020 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-2008$
Từ đó ta được: ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=12$ nên chọn đáp án D.