Cho hàm số $y=\left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+2021 \right|$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số $m$ để giá trị...

Phương pháp:
- Tìm GTLN, GTNN của hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+2021$ trên $\left[ -1;0 \right]$.
- Suy ra $\underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\max \left\{ \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right);\underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right) \right\}.$
- Xét từng TH, từng $\underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|$ trong từng trường hợp và tìm $\min \left( \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right| \right).$
Cách giải:
Xét hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+2021$ ta có $f'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-6x+6\left( {{m}^{2}}+1 \right).$
Ta có $f'\left( x \right)=6\left( {{x}^{2}}-x+1+{{m}^{2}} \right)>0\forall x\in \left( -1;0 \right),\forall m$ do đó hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ -1;0 \right].$
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( -1 \right)=-6{{m}^{2}}+2010$
$\underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=2021$
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\max \left\{ \left| -{{m}^{2}}+2010 \right|;2021 \right\}.$
TH1:
$\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\left| -{{m}^{2}}+2010 \right| \\
& \left| -6{{m}^{2}}+2010 \right|\ge 2021 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\left| -{{m}^{2}}+2010 \right| \\
& \left[ \begin{aligned}
& -6{{m}^{2}}+2010\ge 2021 \\
& -6{{m}^{2}}+2010\le -2021 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\left| -6{{m}^{2}}+2010 \right| \\
& \left[ \begin{aligned}
& 6{{m}^{2}}\le -1\left( vonghiem \right) \\
& -6{{m}^{2}}+2010\le -2010 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\left| -6{{m}^{2}}+2010 \right| \\
& {{m}^{2}}\ge \dfrac{4031}{6} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow -6{{m}^{2}}+2010\le -2010$
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|\ge 2021\forall {{m}^{2}}\ge \dfrac{4031}{6}$
$\Rightarrow \min \left( \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right| \right)=2021\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\dfrac{4031}{6}$
TH2:
$\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=2021 \\
& 2021\ge \left| -6{{m}^{2}}+2010 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=2021 \\
& -2021\le 6{{m}^{2}}+2010\le 2021 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=2021 \\
& -\dfrac{1}{6}\le {{m}^{2}}\le \dfrac{4031}{6} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=2021 \\
& 0\le {{m}^{2}}\le \dfrac{4031}{6} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \min \left( \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right| \right)=2021\Leftrightarrow 0\le {{m}^{2}}\le \dfrac{4031}{6}$
Vậy $S=\left[ -\sqrt{\dfrac{4031}{6}};\sqrt{\dfrac{4031}{6}} \right].$
Do $S$ là tập đối xứng nên tổng các phần tử của $S$ bằng 0.