Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$, và có bảng xét đạo hàm như sau:
Tìm tất cà các giá trị của tham số $m$ để hàm số $g(x)=f\left(\sqrt{x^{2}} \cdot\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\right)-m\right)$ có ít nhất 4 điểm cực trị?
A. $m \geq 0$.
B. $m>0$.
C. $m>1$.
D. $m \geq 1$.
A. $m \geq 0$.
B. $m>0$.
C. $m>1$.
D. $m \geq 1$.
Ta có $g(x)=f\left(\sqrt{x^{2}} \cdot\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\right)-m\right)=f\left(\sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}-m\right)$.
$\Rightarrow g^{\prime}(x)=\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}}}+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\right) f^{\prime}\left(\sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}-m\right)$ với $x \neq 0$
Suy ra $g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow f^{\prime}\left(\sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}-m\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}-m=-1 \\ \sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}-m=0 \\ \sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}-m=1\end{array}\right.$.
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}=m-1 (1) \\ \sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}=m (2) \\ \sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}=m+1 (3) \end{array}\right.$
Để hàm số $g(x)=f\left(\sqrt{x^{2}} \cdot\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\right)-m\right)$ có ít nhất 4 điểm cực trị thì tổng số nghiệm bội lẻ của phương trình $(1),(2),(3)$ không nhỏ hơn 4 .
Đặt $h(x)=\sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1} \Rightarrow h^{\prime}(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}}}+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ với $x \neq 0$.
Ta có bảng biến thiên của hàm với $h(x)$ như sau:
Yêu cầu bài toán $m>1$.
$\Rightarrow g^{\prime}(x)=\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}}}+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\right) f^{\prime}\left(\sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}-m\right)$ với $x \neq 0$
Suy ra $g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow f^{\prime}\left(\sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}-m\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}-m=-1 \\ \sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}-m=0 \\ \sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}-m=1\end{array}\right.$.
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}=m-1 (1) \\ \sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}=m (2) \\ \sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1}=m+1 (3) \end{array}\right.$
Để hàm số $g(x)=f\left(\sqrt{x^{2}} \cdot\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\right)-m\right)$ có ít nhất 4 điểm cực trị thì tổng số nghiệm bội lẻ của phương trình $(1),(2),(3)$ không nhỏ hơn 4 .
Đặt $h(x)=\sqrt{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+1} \Rightarrow h^{\prime}(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}}}+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ với $x \neq 0$.
Ta có bảng biến thiên của hàm với $h(x)$ như sau:
Đáp án C.