Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên tập $R$, biết $f^{\prime}(x)=x^{2022}(x-2)^{2021}\left(x^{2}-8 x+m^{2}-3 m-4\right)$, $\forall x \in R$. Gọi $\boldsymbol{S}$ là tập tất cả các giá trị nguyên của $m$ để đồ thị hàm số $y=f(|x|)$ có 5 điểm cực trị. Số phần tử của $S$ là:
A. 7.
B. 6.
C. 4.
D. 5.
A. 7.
B. 6.
C. 4.
D. 5.
${{f}^{\prime }}(x)={{x}^{2022}}{{(x-2)}^{2021}}\left( {{x}^{2}}-8x+{{m}^{2}}-3m-4 \right)={{x}^{2022}}{{(x-2)}^{2020}}\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-8x+{{m}^{2}}-3m-4 \right)$.
Để hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 cực trị dương.
Ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& {{x}^{2}}-8x+{{m}^{2}}-3m-4=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right. $
Có $x=0$ là nghiệm bội 2, $x=2$ là nghiệm đơn.
Vậy ${{x}^{2}}-8x+{{m}^{2}}-3m-4=0\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương $x\ne 2$, có một nghiệm $x\le 0$
Trường hợp 1: Có nghiệm $x=0$ khi đó ${{m}^{2}}-3m-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=4 \\
\end{aligned} \right.$
Với $m=-1$, $m=4$ ta được ${{x}^{2}}-8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=8 \\
\end{matrix} \right. \left( \text{TM} \right)$
Trường hợp 2: ${{x}^{2}}-8x+{{m}^{2}}-3m-4=0\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương $x\ne 2$, có một nghiệm âm điều kiện tương đương $\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}-3m-4<0 \\
{{2}^{2}}-8.2+{{m}^{2}}-3m-4\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-1<m<4 \\
{{m}^{2}}-3m-16\ne 0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-1<m<4 \\
m\ne \dfrac{3\pm \sqrt{73}}{2} \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \right. \right.-1<m<4$.
Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=0,m=1,m=2,m=3$.
Vậy có 6 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Để hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 cực trị dương.
Ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& {{x}^{2}}-8x+{{m}^{2}}-3m-4=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right. $
Có $x=0$ là nghiệm bội 2, $x=2$ là nghiệm đơn.
Vậy ${{x}^{2}}-8x+{{m}^{2}}-3m-4=0\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương $x\ne 2$, có một nghiệm $x\le 0$
Trường hợp 1: Có nghiệm $x=0$ khi đó ${{m}^{2}}-3m-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=4 \\
\end{aligned} \right.$
Với $m=-1$, $m=4$ ta được ${{x}^{2}}-8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=8 \\
\end{matrix} \right. \left( \text{TM} \right)$
Trường hợp 2: ${{x}^{2}}-8x+{{m}^{2}}-3m-4=0\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương $x\ne 2$, có một nghiệm âm điều kiện tương đương $\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}-3m-4<0 \\
{{2}^{2}}-8.2+{{m}^{2}}-3m-4\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-1<m<4 \\
{{m}^{2}}-3m-16\ne 0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-1<m<4 \\
m\ne \dfrac{3\pm \sqrt{73}}{2} \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \right. \right.-1<m<4$.
Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=0,m=1,m=2,m=3$.
Vậy có 6 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Đáp án B.