Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(-4)=4$. Đồ thị hàm số $y=f'(x)$ như hình vẽ bên dưới. Để giá trị lớn nhất của hàm số $h(x)=f(x)-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-x+3m$ trên đoạn $\left[ -4;3 \right]$ không vượt quá $2022$ thì tập giác trị của $m$ là
A. $(-\infty ;2022]$.
B. $(674;+\infty )$.
C. $(-\infty ;674]$.
D. $(2022;+\infty )$.
$h'(x)=f'(x)-(x+1)$
Trên $(-4;1)$, $h'(x)<0$, trên $(1;3),h'(x)>0$, $h'(1)=0$
Hàm số $h(x)$ đạt cực tiểu trên đoạn $\left[ -4;3 \right]$ tại $x=1$
$a=h(-4)=3m$ ; $b=h(3)=f(3)-\dfrac{15}{2}+3m$
Gọi ${{S}_{1}}=\int\limits_{-4}^{1}{[(x-1)-f'(x)]dx; {{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{3}{[f(x)-(x-1)]dx}}$
Nhận thấy ${{S}_{1}}>{{S}_{2}}\Rightarrow \left. \left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-f(x) \right) \right|_{-4}^{1}>\left. \left( f(x)-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-x \right) \right|_{1}^{3}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}-f(1)-4+f(-4)>f(3)-\dfrac{12}{2}-f(1)\Leftrightarrow f(-4)>f(3)-\dfrac{7}{2}\Rightarrow f(3)<\dfrac{15}{2}$
Vậy, $b<a$, $\underset{x\in [-4;3]}{\mathop{\max h(x)}} =a\Rightarrow 3m\le 2022\Leftrightarrow m\le 674$
Vậy, tập giá trị của $m,$ là $(-\infty ;674]$.
B. $(674;+\infty )$.
C. $(-\infty ;674]$.
D. $(2022;+\infty )$.
Trên $(-4;1)$, $h'(x)<0$, trên $(1;3),h'(x)>0$, $h'(1)=0$
Hàm số $h(x)$ đạt cực tiểu trên đoạn $\left[ -4;3 \right]$ tại $x=1$
$a=h(-4)=3m$ ; $b=h(3)=f(3)-\dfrac{15}{2}+3m$
Gọi ${{S}_{1}}=\int\limits_{-4}^{1}{[(x-1)-f'(x)]dx; {{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{3}{[f(x)-(x-1)]dx}}$
Nhận thấy ${{S}_{1}}>{{S}_{2}}\Rightarrow \left. \left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-f(x) \right) \right|_{-4}^{1}>\left. \left( f(x)-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-x \right) \right|_{1}^{3}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}-f(1)-4+f(-4)>f(3)-\dfrac{12}{2}-f(1)\Leftrightarrow f(-4)>f(3)-\dfrac{7}{2}\Rightarrow f(3)<\dfrac{15}{2}$
Vậy, $b<a$, $\underset{x\in [-4;3]}{\mathop{\max h(x)}} =a\Rightarrow 3m\le 2022\Leftrightarrow m\le 674$
Vậy, tập giá trị của $m,$ là $(-\infty ;674]$.
Đáp án C.