Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $|-1,1|$ và thỏa mãn...

$\int\limits_{-1}^{1}{\left( x+t \right)}f(t)dt=\int\limits_{-1}^{1}{x}f(t)dt+\int\limits_{-1}^{1}{t}f(t)dt=ax+b$. Với $\left\{ \begin{aligned}
& a=\int\limits_{-1}^{1}{f(t)dt} \\
& b=\int\limits_{-1}^{1}{t}f(t)dt \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $f(x)+2=\dfrac{3}{2}\left( ax+b \right)\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{3}{2}\left( ax+b \right)-2$.
$I=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{-1}^{1}{\left[ \dfrac{3}{2}\left( ax+b \right)-2 \right]}dx=\left[ \dfrac{3}{2}\left( \dfrac{a{{x}^{2}}}{2}+bx \right)-2x \right]|_{-1}^{1}=3b-4\Rightarrow a-3b=-4\ \left( 1 \right)$
$b=\int\limits_{-1}^{1}{t}\left[ \dfrac{3}{2}\left( at+b \right)-2 \right]dt=a\Rightarrow a=b\left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& a-3b=-4 \\
& a=b \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ I=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx=2$