Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$, đồ thị của hàm số $y={{f}^{\prime }}(x)$ là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)=f(3x)+3{{x}^{2}}-4x+1$ trên đoạn $\left[ -\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} \right]$ bằng
A. $f(0)+1$.
B. $f(6)$.
C. $f(2)-\dfrac{1}{3}$.
D. $f(-3)+8$.
B. $f(6)$.
C. $f(2)-\dfrac{1}{3}$.
D. $f(-3)+8$.
$g(x)=f(3x)+3{{x}^{2}}-4x+1\Rightarrow {g}'\left( x \right)=3{f}'\left( 3x \right)+6x-4=3{f}'\left( 3x \right)+2\left( 3x \right)-4$
${g}'\left( x \right)=0\Rightarrow 3{f}'\left( 3x \right)+2\left( 3x \right)-4=0\Leftrightarrow {f}'\left( 3x \right)=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}\left( 3x \right)$
Đặt $t=3x,\ x\in \left[ \dfrac{-2}{3};\dfrac{2}{3} \right]\ \Rightarrow t\in \left[ -2;2 \right]\ $. Ta được phương trình ${f}'\left( t \right)=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}t$.
Đặt $y={f}'\left( t \right)$, $d:y=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}t$
Bảng biến thiên
Hàm số $g(x)=f(3x)+3{{x}^{2}}-4x+1$ đạt giá trị nhỏ nhất $\left[ -\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} \right]$
khi $2=3x\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \underset{\left[ \dfrac{-2}{3};\dfrac{2}{3} \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( \dfrac{2}{3} \right)=f\left( 2 \right)-\dfrac{1}{3}$.
${g}'\left( x \right)=0\Rightarrow 3{f}'\left( 3x \right)+2\left( 3x \right)-4=0\Leftrightarrow {f}'\left( 3x \right)=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}\left( 3x \right)$
Đặt $t=3x,\ x\in \left[ \dfrac{-2}{3};\dfrac{2}{3} \right]\ \Rightarrow t\in \left[ -2;2 \right]\ $. Ta được phương trình ${f}'\left( t \right)=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}t$.
Đặt $y={f}'\left( t \right)$, $d:y=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}t$
khi $2=3x\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \underset{\left[ \dfrac{-2}{3};\dfrac{2}{3} \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( \dfrac{2}{3} \right)=f\left( 2 \right)-\dfrac{1}{3}$.
Đáp án C.