Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $R$. Đồ thị hàm số $y={{f}^{'}}(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y=f({{x}^{2}}+2x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Ta có ${{f}^{'}}(x)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -1<x<1 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right.$
${{f}^{'}}(x)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 1<x<3 \\
& x<-1 \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $y=f({{x}^{2}}+2x)$, ta có ${{y}^{'}}=(2x+2){{f}^{'}}({{x}^{2}}+2x)$.
Khi đó $y{}^{'}>0\Leftrightarrow (2x+2){{f}^{'}}({{x}^{2}}+2x)>0$.
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& 2x+2>0 \\
& {{f}^{'}}({{x}^{2}}+2x)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-1 \\
& \left[ \begin{aligned}
& -1<{{x}^{2}}+2x<1 \\
& {{x}^{2}}+2x>3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-1 \\
& \left[ \begin{aligned}
& -1-\sqrt{2}<x<-1+\sqrt{2} \\
& x>1 \\
& x<-3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -1<x<-1+\sqrt{2} \\
& x>1 \\
\end{aligned} \right.$
TH 2: $\left\{ \begin{aligned}
& 2x+2<0 \\
& {{f}^{'}}({{x}^{2}}+2x)<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+2x<-1 \\
& 1<{{x}^{2}}+2x<3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -3<x<-1-\sqrt{2}$
Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $(-3;-1-\sqrt{2})$ ; $(-1;-1+\sqrt{2})$ và $(1;+\infty )$
Nên nó đồng biến trên khoảng $(1;2)$