Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $R$ . Đồ thị hàm số $y = f^{^{'}} (x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f (x^{2} + 2 x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên

R

. Đồ thị hàm số

y = f^{^{'}} (x)

như hình vẽ. Hàm số

y = f (x^{2} + 2 x)

đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.

(1; 2)

.
B.

(- \infty; - 3)

.
C.

(- 2; 0)

.
D.

(0; 1)

.

Ta có

f^{^{'}} (x) > 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} - 1 < x < 1 \\ x > 3 \end{aligned}

f^{^{'}} (x) < 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} 1 < x < 3 \\ x < - 1 \end{aligned}

Xét hàm số

y = f (x^{2} + 2 x)

, ta có

y^{^{'}} = (2 x + 2) f^{^{'}} (x^{2} + 2 x)

.
Khi đó

y^{^{'}} > 0 \Leftrightarrow (2 x + 2) f^{^{'}} (x^{2} + 2 x) > 0

.
TH1:

{\begin{aligned} 2 x + 2 > 0 \\ f^{^{'}} (x^{2} + 2 x) > 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x > - 1 \\ [\begin{aligned} - 1 < x^{2} + 2 x < 1 \\ x^{2} + 2 x > 3 \end{aligned} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x > - 1 \\ [\begin{aligned} - 1 - \sqrt{2} < x < - 1 + \sqrt{2} \\ x > 1 \\ x < - 3 \end{aligned} \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} - 1 < x < - 1 + \sqrt{2} \\ x > 1 \end{aligned}

TH 2:

{\begin{aligned} 2 x + 2 < 0 \\ f^{^{'}} (x^{2} + 2 x) < 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x < - 1 \\ [\begin{aligned} x^{2} + 2 x < - 1 \\ 1 < x^{2} + 2 x < 3 \end{aligned} \end{aligned} \Leftrightarrow - 3 < x < - 1 - \sqrt{2}

Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng

(- 3; - 1 - \sqrt{2})

;

(- 1; - 1 + \sqrt{2})

và

(1; + \infty)

Nên nó đồng biến trên khoảng

(1; 2)

Đáp án A.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y=f′(x) như hình vẽ. Hàm số y=f(x2+2x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?