Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(0)=1$ và $3{f}'(x)\cdot {{f}^{2}}(x){{e}^{{{f}^{3}}(x)-{{x}^{2}}-1}}=2x,\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f\left(x^{3}-3 x^{2}-m\right)$ có đúng 5 điểm cực trị?
A. $1$.
B. $5$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $1$.
B. $5$.
C. $3$.
D. $4$.
Ta có $3{f}'(x)\cdot {{f}^{2}}(x)\cdot {{e}^{{{f}^{3}}(x)}}=2x\cdot {{e}^{{{x}^{2}}+1}}\Leftrightarrow {{\left[ {{e}^{{{f}^{3}}(x)}} \right]}^{\prime }}=2x\cdot {{e}^{{{x}^{2}}+1}}$ $\Rightarrow e^{f^{3}(x)}=\int 2 x e^{x^{2}+1} d x=\int e^{x^{2}+1} d\left(x^{2}+1\right)=e^{x^{2}+1}+C .$
Do $f(0)=1 \Leftrightarrow e=e+C \Leftrightarrow C=0 \Rightarrow e^{f^{3}(x)}=e^{x^{2}+1} \Leftrightarrow f^{3}(x)=x^{2}+1 \Leftrightarrow f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+1}$.
$\Rightarrow {f}'(x)=\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}}$
${y}'=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right){f}'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m \right)=\dfrac{2\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m \right)}{3\sqrt[3]{{{\left[ {{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m \right)}^{2}}+1 \right]}^{2}}}}$ ;
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0\text{ (1)} \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số có đúng 5 điểm cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khác 0 và 2 $\Leftrightarrow$ đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=x^{3}-3 x^{2}$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ khác 0 và
$2 \Leftrightarrow y_{C T}<m<y_{C D} \Leftrightarrow-4<m<0$.
Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-3;-2;-1\}$. Số giá trị tham số $m$ cần tìm là 3.
Do $f(0)=1 \Leftrightarrow e=e+C \Leftrightarrow C=0 \Rightarrow e^{f^{3}(x)}=e^{x^{2}+1} \Leftrightarrow f^{3}(x)=x^{2}+1 \Leftrightarrow f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+1}$.
$\Rightarrow {f}'(x)=\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}}$
${y}'=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right){f}'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m \right)=\dfrac{2\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m \right)}{3\sqrt[3]{{{\left[ {{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m \right)}^{2}}+1 \right]}^{2}}}}$ ;
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0\text{ (1)} \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số có đúng 5 điểm cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khác 0 và 2 $\Leftrightarrow$ đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=x^{3}-3 x^{2}$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ khác 0 và
$2 \Leftrightarrow y_{C T}<m<y_{C D} \Leftrightarrow-4<m<0$.
Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-3;-2;-1\}$. Số giá trị tham số $m$ cần tìm là 3.
Đáp án C.