Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y=f(x)}$ có đạo hàm ${M\left(x_0 ; y_0\right)}$ Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số ${y=-2 x^3+3 x^2-5}$ để hàm số ${g(x)=f\left(\left|x^3+7 x\right|+m\right)}$ có ít nhất 3 điểm cực trị ?
A. 16 .
B. 9 .
C. 4 .
D. 8.
A. 16 .
B. 9 .
C. 4 .
D. 8.
Ta có: ${f\prime (x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=9 \\ x=\pm 4\end{array}\right.}$.
${g\prime (x)=\dfrac{\left(3 x^2+7\right)\left(x^3+7 x\right)}{\sqrt{\left(x^3+7 x\right)^2}} \cdot f\prime \left(\left|x^3+7 x\right|+m\right)}$
+) ${g\prime (x)}$ không xác định tại ${x=0}$ và ${\dfrac{\left(3 x^2+7\right)\left(x^3+7 x\right)}{\sqrt{\left(x^3+7 x\right)^2}}}$ đổi dấu khi qua ${x=0}$ nên ${x=0}$ là
một điểm cực trị của hàm số.
Ta có bảng biến thiên của hàm số ${|u(x)|}$ với ${u(x)=x^3+7 x}$
Để hàm số ${g(x)}$ có ít nhất 3 điểm cực trị thì hệ (1) phải có ít nhất 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ khác 0 . Mà ta lại thấy ${-m+9>-m+4>-m-4}$.
Nên suy ra ${-m+9>0 \Rightarrow m<9}$
Vậy có 8 giá trị nguyên dương của ${m}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là ${m \in\{1,2, \ldots, 8\}}$.
${g\prime (x)=\dfrac{\left(3 x^2+7\right)\left(x^3+7 x\right)}{\sqrt{\left(x^3+7 x\right)^2}} \cdot f\prime \left(\left|x^3+7 x\right|+m\right)}$
+) ${g\prime (x)}$ không xác định tại ${x=0}$ và ${\dfrac{\left(3 x^2+7\right)\left(x^3+7 x\right)}{\sqrt{\left(x^3+7 x\right)^2}}}$ đổi dấu khi qua ${x=0}$ nên ${x=0}$ là
một điểm cực trị của hàm số.
Ta có bảng biến thiên của hàm số ${|u(x)|}$ với ${u(x)=x^3+7 x}$
Để hàm số ${g(x)}$ có ít nhất 3 điểm cực trị thì hệ (1) phải có ít nhất 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ khác 0 . Mà ta lại thấy ${-m+9>-m+4>-m-4}$.
Nên suy ra ${-m+9>0 \Rightarrow m<9}$
Vậy có 8 giá trị nguyên dương của ${m}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là ${m \in\{1,2, \ldots, 8\}}$.
Đáp án D.