Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm không âm trên $[0; 1],$ ...

The Collectors · 14/3/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm không âm trên

[0; 1],

thỏa mãn

f (x) > 0

với mọi

x \in [0; 1]

và

{[f (x)]}^{2} . {[f^{'} (x)]}^{2} {(x^{2} + 1)}^{2} = 1 + {[f (x)]}^{2}

. Nếu

f (0) = \sqrt{3}

thì giá trị

f (1)

thuộc khoảng nào sau đây?
A.

(3; \frac{7}{2})

.
B.

(2; \frac{5}{2})

.
C.

(\frac{5}{2}; 3)

.
D.

(\frac{3}{2}; 2)

.

Ta có:

{[f (x)]}^{2} . {[f^{'} (x)]}^{2} {(x^{2} + 1)}^{2} = 1 + {[f (x)]}^{2}

\Leftrightarrow \frac{{[f (x)]}^{2} . {[f^{'} (x)]}^{2}}{1 + {[f (x)]}^{2}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

\Leftrightarrow \frac{f (x) . f^{'} (x)}{\sqrt{1 + {[f (x)]}^{2}}} = \frac{1}{x^{2} + 1}

\Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{f (x) . f^{'} (x)}{\sqrt{1 + {[f (x)]}^{2}}} d x = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x

\Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{f (x) . f^{'} (x)}{\sqrt{1 + {[f (x)]}^{2}}} d x = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x

+ Nếu đặt

t = \sqrt{1 + {[f (x)]}^{2}} \Rightarrow d t = \frac{f (x) . f^{'} (x)}{\sqrt{1 + {[f (x)]}^{2}}} d x

\Rightarrow

VT =

\int_{2}^{\sqrt{1 + f^{2} (1)}} d t = \sqrt{1 + f^{2} (1)} - 2

+ Nếu đặt

x = \tan u

\Rightarrow d x = (1 + \tan^{2} u) d u

\Rightarrow

VP =

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{1 + \tan^{2} u} (1 + \tan^{2} u) d x = \frac{π}{4}

\Rightarrow \sqrt{1 + f^{2} (1)} - 2

= \frac{π}{4}

\Rightarrow f (1) = \sqrt{\frac{π^{2}}{16} + π + 3} \approx 2, 6

\in (\frac{5}{2}; 3)

.

Đáp án C.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm không âm trên [0;1],...