Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=3 x^2+6 x+4, \forall...

$g(x)=f(x)-(2m+4)x-5\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( 2m+4 \right)=3{{x}^{2}}+6x-2m.$
Điều kiện hàm số $g(x)=f(x)-(2 m+4) x-5$ nghịch biến trên $(0 ; 2)$ là
${g}'(x)\le 0,\forall x\in \left( 0;2 \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x\le 2m,\forall x\in \left( 0;2 \right).$
Đặt $h\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x\Rightarrow {h}'\left( x \right)=6x+6>0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$
Bảng biến thiên của $y=h\left( x \right),x\in \left( 0;2 \right)$.
Dựa vào bảng biến thiên ta có: $2m\ge 24$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in (-2023;2023) \\
& m\ge 12 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $số giá trị của $ m $là: $ 2023-12=2011.$