Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai trên $R$ và có đồ thị...

Ta có: $g(x)=f(f'(x)-1)\Rightarrow g'(x)=f''(x).f'(f'(x)-1)$
Phương trình $g'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'(x)=0 \\
& f'(f'(x)-1)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f''(x)=0 \\
& f'(x)-1=-1\Leftrightarrow \\
& f'(x)-1=2 \\
\end{aligned} \right.\left[ \begin{aligned}
& f''(x)=0 \\
& f'(x)=0 \\
& f'(x)=3 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có đồ thị $y=f'(x)$ có cực trị tại $\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=\dfrac{-2}{3} \\
& x={{x}_{0}}\in (1;2) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f''(1)=0 \\
& f''\left( \dfrac{-2}{3} \right)=0 \\
& f''({{x}_{0}})=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow f''(x)=0 $ có 3 nghiệm $ x=1;x=-\dfrac{2}{3};x={{x}_{0}} $ cùng với $ x=1$ là nghiệm bội chẵn
Tại phương trình $f'(x)=0$ ta thấy có 2 nghiệm bội lẻ $x=-1,x=2$ và nghiệm bội chẵn $x=1$
Tại phương trình $f'(x)=3$ ta thấy có 2 nghiệm mà đường thẳng $y=3$ cắt đồ thị $y=f'(x)$ đó là hai điểm $x={{x}_{1}}\in (-\infty ;-1)$ và $x={{x}_{2}}\in (2;+\infty )$
Vậy từ đó ta thấy phương trình $g'(x)=0$ tổng cộng có tất cả 10 nghiệm.