Cho hàm số $y=f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e(a\ne 0)$...

Cách giải:
$\begin{array}{*{35}{l}}
y=f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e(a\ne 0) \\
\Rightarrow f'(x)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d \\
\end{array}$
Đồ thị hàm số $y=f\prime \left( x \right)$ đi qua các điểm $\left( -2;-~2 \right),\left( 0;6 \right),\left( 2;2 \right),\left( 4;4 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-32a+12b-4c+d=-2 \\
d=6 \\
32a+12b+4c+d=2 \\
256a+48b+8c+d=4 \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-32a+12b-4c=-8 \\
32a+12b+4c=-4 \\
256a+48b+8c=-2 \\
d=6 \\
\end{array} \right. \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
32a+4c=2 \\
b=-\dfrac{1}{2} \\
128a+4c=11 \\
d=6 \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=\dfrac{3}{32} \\
b=-\dfrac{1}{2} \\
c=-\dfrac{1}{4} \\
d=6 \\
\end{array} \right. \right.$
$\begin{aligned}
& g(x)=\left| 2f(x)-{{x}^{2}} \right| \\
& =\left| 2\left( \dfrac{3}{32}{{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}+6x+e \right)-{{x}^{2}} \right| \\
& =\left| \dfrac{3}{16}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+12x+2\text{e} \right| \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $h(x)=\dfrac{3}{16}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+12x+2e\Rightarrow h'(x)=\dfrac{3}{4}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x+12$
$h'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-2 \\
x=2 \\
x=4 \\
\end{array} \right.$

Đồ thị hàm số $g(x)=\left| 2f(x)-{{x}^{2}} \right|$ có tối đa 7 điểm cực trị (xảy ra khi và chỉ khi: $2e+8<0<2e+13$
$\Leftrightarrow -6,5<e<-4).~$