Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị như hình dưới đây:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -5;5 \right)$ để phương trình
${{f}^{2}}(x)-(m+4)\left| f(x) \right|+2m+4=0\left( * \right)$ có $6$ nghiệm phân biệt
A. $2$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $5$.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -5;5 \right)$ để phương trình
${{f}^{2}}(x)-(m+4)\left| f(x) \right|+2m+4=0\left( * \right)$ có $6$ nghiệm phân biệt
A. $2$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $5$.
Ta có
${{f}^{2}}(x)-(m+4)\left| f(x) \right|+2m+4=0$
$\Leftrightarrow \left( \left| f(x) \right|-2 \right)\left( \left| f(x) \right|-2-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| f(x) \right|=2\left( 1 \right) \\
& \left| f(x) \right|=2+m\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình $\left( 1 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt (Hình vẽ)
Vậy để phương trình $\left( * \right)$ có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình $\left( 2 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$.
Phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của phương $\left( 1 \right)$ khi và chi khi$\left[ \begin{aligned}
& m+2=0 \\
& m+2>4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-2 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right. $.
Vì $ m\in Z;m\in \left( -5;5 \right) $ nên $ m=\left\{ -2;3;4 \right\}$
Vậy $m$ có 3 giá trị.
${{f}^{2}}(x)-(m+4)\left| f(x) \right|+2m+4=0$
$\Leftrightarrow \left( \left| f(x) \right|-2 \right)\left( \left| f(x) \right|-2-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| f(x) \right|=2\left( 1 \right) \\
& \left| f(x) \right|=2+m\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình $\left( 1 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt (Hình vẽ)
Vậy để phương trình $\left( * \right)$ có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình $\left( 2 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$.
Phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của phương $\left( 1 \right)$ khi và chi khi$\left[ \begin{aligned}
& m+2=0 \\
& m+2>4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-2 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right. $.
Vì $ m\in Z;m\in \left( -5;5 \right) $ nên $ m=\left\{ -2;3;4 \right\}$
Vậy $m$ có 3 giá trị.
Đáp án C.