Cho hàm số $y=f(x)=2022^{x}-2022^{-x}+x+\sin x$. Có bao nhiêu giá...

Hàm số $y=f(x)=2022^{x}-2022^{-x}+x+\sin x$ xác định trên $\mathbb{R}$ và
$f(-x)={{2022}^{-x}}-{{2022}^{-x}}-x-\sin x=-f(x)$
Suy ra $f(x)$ là hàm số lẻ.
Mặt khác, ${y}'={f}'(x)={{2022}^{x}}.\ln 2022+{{2022}^{-x}}.\ln 2022+1+\cos x>0, \forall x\in \mathbb{R}$. Do đó, $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Khi đó, phương trình
$f(x+3)+f\left( {{x}^{3}}-4x+m \right)=0\Leftrightarrow f(x+3)=-f\left( {{x}^{3}}-4x+m \right)$
$\Leftrightarrow f(x+3)=f\left( -{{x}^{3}}+4x-m \right)\Leftrightarrow x+3=-{{x}^{3}}+4x-m$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+3=-m$
Đặt $g(x)={{x}^{3}}-3x+3\Rightarrow {g}'(x)=3{{x}^{2}}-3$. ${g}'(x)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y=-m$ cắt đồ thị hàm số $g(x)={{x}^{3}}-3x+3$ tại 3 điểm phân biệt
$\Leftrightarrow 1<-m<5\Leftrightarrow -5<m<-1$.
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thoả đề.