Cho hàm số $y=f(x)={2022}^x-{2022}^{-x}+x+\sin x$. Có bao nhiêu giá...

Hàm số $y=f(x)={2022}^x-{2022}^{-x}+x+\sin x$ xác định trên $\mathbb{R}$ và
$f(-x)={2022}^{-x}-{2022}^{-x}-x-\sin x=-f(x)$
Suy ra $f(x)$ là hàm số lẻ.
Mặt khác, $y^{\prime }=f^{\prime }(x)={2022}^x.\ln 2022+{2022}^{-x}.\ln 2022+1+\cos x>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$. Do đó, $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Khi đó, phương trình
$f(x+3)+f(x^3-4x+m)=0\iff f(x+3)=-f(x^3-4x+m)$
$\iff f(x+3)=f(-x^3+4x-m)\iff x+3=-x^3+4x-m$
$\iff x^3-3x+3=-m$
Đặt $g(x)=x^3-3x+3\Rightarrow g^{\prime }(x)=3x^2-3$. $g^{\prime }(x)=0\iff 3x^2-3=0\iff [\begin{array}{rl}& x=1\\ & x=-1\end{array}$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y=-m$ cắt đồ thị hàm số $g(x)=x^3-3x+3$ tại 3 điểm phân biệt
$\iff 1<-m<5\iff -5<m<-1$.
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thoả đề.