Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx$ có đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=f'\left( x \right)$ như hình vẽ sau:
Đặt $g\left( x \right)=f\left( f'\left( x \right) \right),h\left( x \right)=f'\left( f\left( x \right) \right).$ Tổng số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right),h\left( x \right)$ là:
A. 12
B. 11
C. 10
D. 8
Đặt $g\left( x \right)=f\left( f'\left( x \right) \right),h\left( x \right)=f'\left( f\left( x \right) \right).$ Tổng số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right),h\left( x \right)$ là:
A. 12
B. 11
C. 10
D. 8
Cách giải:
Ta có $f'\left( x \right)={{x}^{3}}+3a{{x}^{2}}+2bx+c$ có đồ thị $\left( C \right).$
Dựa vào đồ thị ta có: $f'\left( x \right)={{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4.$
Đồng nhất hệ số ta được: $a=-1,b=0,c=4\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+4x.$
Ta có $f'\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4\Rightarrow f''\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x.$
Xét hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( f'\left( x \right) \right)$ ta có $g''\left( x \right)=f''\left( x \right).f'\left( f'\left( x \right) \right).$
Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f''\left( x \right)=0 \\
& f'\left( f'\left( x \right) \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& f'\left( x \right)=2 \\
& f'\left( x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=2\left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=-1\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có 1 nghiệm nên phương trình $g'\left( x \right)=0$ có 6 nghiệm, trong đó có 3 nghiệm bội chẵn của phương trình (1).
$\Rightarrow $ Hàm số $y=g\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
Xét hàm số $h\left( x \right)=f'\left( f\left( x \right) \right)$ ta có $h'\left( x \right)=f'\left( x \right).f''\left( f\left( x \right) \right).$
Cho $h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& f''\left( f\left( x \right) \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=-1 \\
& f\left( x \right)=0 \\
& f\left( 2 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=-1 \\
& \dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+4x=0\text{ }\left( 3 \right) \\
& \dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+4x=2\text{ }\left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt nên phương trình $h'\left( x \right)=0$ có 6 nghiệm, trong đó nghiệm $x=2$ là nghiệm bội chẵn.
$\Rightarrow $ Hàm số $y=h\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị.
Vậy tổng số điểm cực trị của hai hàm $g\left( x \right),h\left( x \right)$ là 8.
Ta có $f'\left( x \right)={{x}^{3}}+3a{{x}^{2}}+2bx+c$ có đồ thị $\left( C \right).$
Dựa vào đồ thị ta có: $f'\left( x \right)={{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4.$
Đồng nhất hệ số ta được: $a=-1,b=0,c=4\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+4x.$
Ta có $f'\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4\Rightarrow f''\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x.$
Xét hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( f'\left( x \right) \right)$ ta có $g''\left( x \right)=f''\left( x \right).f'\left( f'\left( x \right) \right).$
Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f''\left( x \right)=0 \\
& f'\left( f'\left( x \right) \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& f'\left( x \right)=2 \\
& f'\left( x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=2\left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=-1\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có 1 nghiệm nên phương trình $g'\left( x \right)=0$ có 6 nghiệm, trong đó có 3 nghiệm bội chẵn của phương trình (1).
$\Rightarrow $ Hàm số $y=g\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
Xét hàm số $h\left( x \right)=f'\left( f\left( x \right) \right)$ ta có $h'\left( x \right)=f'\left( x \right).f''\left( f\left( x \right) \right).$
Cho $h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& f''\left( f\left( x \right) \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=-1 \\
& f\left( x \right)=0 \\
& f\left( 2 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=-1 \\
& \dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+4x=0\text{ }\left( 3 \right) \\
& \dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+4x=2\text{ }\left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt nên phương trình $h'\left( x \right)=0$ có 6 nghiệm, trong đó nghiệm $x=2$ là nghiệm bội chẵn.
$\Rightarrow $ Hàm số $y=h\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị.
Vậy tổng số điểm cực trị của hai hàm $g\left( x \right),h\left( x \right)$ là 8.
Đáp án D.