Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y=f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+mx+m-2}$. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của ${m}$ để hàm số ${y=g\left( x \right)={{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}-3.{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+2}$ đồng biến trên ${\left( -\infty ;0 \right)}$.
A. ${1}$.
B. ${3}$.
C. ${2}$.
D. Vô số.
A. ${1}$.
B. ${3}$.
C. ${2}$.
D. Vô số.
Ta có $g\left( x \right)'=f'\left( x \right).\left[ 3{{f}^{2}}\left( x \right)-6f\left( x \right) \right]$
và $y=f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{3}}+mx+m-2=f'\left( x \right)={{x}^{3}}-4x+m$.
Nhận xét: Nếu $\exists {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -\infty ;0 \right)$ mà ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ sao cho $f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)$ suy ra $g\left( {{x}_{1}} \right)=g\left( {{x}_{2}} \right)$ không thoả mãn $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right).$
Vậy để thoả mãn điều kiện thì hàm số $f\left( x \right)$ là hàm đơn điệu trên $\left( -\infty ;0 \right).$ Do ${{\lim }_{x\to +\infty }}f'\left( x \right)=+\infty $ nên $f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$
$f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+m\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)\Leftrightarrow m\ge -{{x}^{2}}+4x,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$
Xét hàm số ${{f}_{1}}\left( x \right)=-{{x}^{2}}+4x$ trên $\left( -\infty ;0 \right)$ có ${{f}_{1}}'\left( x \right)=-2x+4\Rightarrow {{f}_{1}}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2$
Bàng biến thiên
Từ bàng biến thiên suy ra $m\ge 0.$
+) Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$ suy ra $g'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$ nên$$
$3{{f}^{2}}\left( x \right)-6f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& f\left( x \right)\ge 2 \\
& f\left( x \right)\le 0 \\
\end{align} \right.,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) $ do $ f'\left( x\ge 0 \right),\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$
Mà ${{\lim }_{x\to -\infty }}f\left( x \right)=-\infty $ nên suy ra không xảy ra trường hợp $f\left( x \right)\ge 2,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$
Do đó $f\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$ Mà $f'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$ nên có băng biến thiên
Từ đó suy ra $m-2\le 0\Leftrightarrow m\le 2$
Vậy với $0\le m\le 2$ thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right).$ Mà m là số nguyên nên $m\in \left\{ 0;\text{ }1;2 \right\}.$
và $y=f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{3}}+mx+m-2=f'\left( x \right)={{x}^{3}}-4x+m$.
Nhận xét: Nếu $\exists {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -\infty ;0 \right)$ mà ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ sao cho $f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)$ suy ra $g\left( {{x}_{1}} \right)=g\left( {{x}_{2}} \right)$ không thoả mãn $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right).$
Vậy để thoả mãn điều kiện thì hàm số $f\left( x \right)$ là hàm đơn điệu trên $\left( -\infty ;0 \right).$ Do ${{\lim }_{x\to +\infty }}f'\left( x \right)=+\infty $ nên $f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$
$f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+m\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)\Leftrightarrow m\ge -{{x}^{2}}+4x,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$
Xét hàm số ${{f}_{1}}\left( x \right)=-{{x}^{2}}+4x$ trên $\left( -\infty ;0 \right)$ có ${{f}_{1}}'\left( x \right)=-2x+4\Rightarrow {{f}_{1}}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2$
Bàng biến thiên
Từ bàng biến thiên suy ra $m\ge 0.$
+) Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$ suy ra $g'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$ nên$$
$3{{f}^{2}}\left( x \right)-6f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& f\left( x \right)\ge 2 \\
& f\left( x \right)\le 0 \\
\end{align} \right.,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) $ do $ f'\left( x\ge 0 \right),\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$
Mà ${{\lim }_{x\to -\infty }}f\left( x \right)=-\infty $ nên suy ra không xảy ra trường hợp $f\left( x \right)\ge 2,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$
Do đó $f\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$ Mà $f'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$ nên có băng biến thiên
Từ đó suy ra $m-2\le 0\Leftrightarrow m\le 2$
Vậy với $0\le m\le 2$ thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right).$ Mà m là số nguyên nên $m\in \left\{ 0;\text{ }1;2 \right\}.$
Đáp án B.