Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$, $\left( a\ne 0 \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ:
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng $\left( -6 ; 6 \right)$ của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3-2x+m \right)+{{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+2{{m}^{2}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ; 1 \right)$. Khi đó tổng giá trị các phần tử của $S$ là
A. 12.
B. 9.
C. 6.
D. 15.
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng $\left( -6 ; 6 \right)$ của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3-2x+m \right)+{{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+2{{m}^{2}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ; 1 \right)$. Khi đó tổng giá trị các phần tử của $S$ là
A. 12.
B. 9.
C. 6.
D. 15.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3-2x+m \right)+{{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+2{{m}^{2}}$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=-2{f}'\left( 3-2x+m \right)-\left( 3-2x+m \right)$.
Khi đó: ${g}'\left( x \right)\le 0$ $\Leftrightarrow {f}'\left( 3-2x+m \right)\ge -\dfrac{3-2x+m}{2}$ $\left( * \right)$.
Đặt $u=3-2x+m$, $\left( * \right)$ có dạng ${f}'\left( u \right)\ge -\dfrac{u}{2}$ $\left( ** \right)$.
Xét sự tương giao đồ thị của hai hàm số $y={f}'\left( u \right)$ và $y=-\dfrac{u}{2}$.
Từ giả thiết cho đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$ ta được :
$\left( ** \right)$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& -2\le u\le 0 \\
& u\ge 4 \\
\end{aligned} \right. $ hay $ \left[ \begin{aligned}
& -2\le 3-2x+m\le 0 \\
& 3-2x+m\ge 4 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{3+m}{2}\le x\le \dfrac{5+m}{2} \\
& x\le \dfrac{m-1}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3-2x+m \right)+{{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+2{{m}^{2}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ; 1 \right)$ thì ${g}'\left( x \right)\le 0$ với $\forall x\in \left( 0 ; 1 \right)$. Tức là:
$\left[ \begin{aligned}
& \dfrac{3+m}{2}\le 0<1\le \dfrac{5+m}{2} \\
& 1\le \dfrac{m-1}{2} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m\le -3 \\
& m\ge -3 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ge 3 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-3 \\
& m\ge 3 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $-6<m<6$ nên $m\in S=\left\{ -3 ; 3 ; 4 ; 5 \right\}$.
Vậy tổng giá trị các phần tử của $S$ bằng 9.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=-2{f}'\left( 3-2x+m \right)-\left( 3-2x+m \right)$.
Khi đó: ${g}'\left( x \right)\le 0$ $\Leftrightarrow {f}'\left( 3-2x+m \right)\ge -\dfrac{3-2x+m}{2}$ $\left( * \right)$.
Đặt $u=3-2x+m$, $\left( * \right)$ có dạng ${f}'\left( u \right)\ge -\dfrac{u}{2}$ $\left( ** \right)$.
Xét sự tương giao đồ thị của hai hàm số $y={f}'\left( u \right)$ và $y=-\dfrac{u}{2}$.
Từ giả thiết cho đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$ ta được :
$\left( ** \right)$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& -2\le u\le 0 \\
& u\ge 4 \\
\end{aligned} \right. $ hay $ \left[ \begin{aligned}
& -2\le 3-2x+m\le 0 \\
& 3-2x+m\ge 4 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{3+m}{2}\le x\le \dfrac{5+m}{2} \\
& x\le \dfrac{m-1}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3-2x+m \right)+{{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+2{{m}^{2}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ; 1 \right)$ thì ${g}'\left( x \right)\le 0$ với $\forall x\in \left( 0 ; 1 \right)$. Tức là:
$\left[ \begin{aligned}
& \dfrac{3+m}{2}\le 0<1\le \dfrac{5+m}{2} \\
& 1\le \dfrac{m-1}{2} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m\le -3 \\
& m\ge -3 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ge 3 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-3 \\
& m\ge 3 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $-6<m<6$ nên $m\in S=\left\{ -3 ; 3 ; 4 ; 5 \right\}$.
Vậy tổng giá trị các phần tử của $S$ bằng 9.
Đáp án B.