Cho hàm số $y=f\left( x...

Ta có ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}+2bx+c$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( 0; -\dfrac{1}{3} \right)$ nên $d=-\dfrac{1}{3}$.
Gọi ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của ${f}'\left( x \right)$. Áp dụng định lí Viet ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2b \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=c \\
\end{aligned} \right.$
Mà theo giả thiết $2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=-1$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\dfrac{-2b-1}{3} \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{1-4b}{3} \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=c \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{\left( 2b+1 \right)\left( 4b-1 \right)}{9}=c \left( 1 \right)$
Từ giả thiết suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A\left( {{x}_{1}}; f\left( {{x}_{1}} \right) \right), B\left( {{x}_{2}}; f\left( {{x}_{2}} \right) \right)$ $\Rightarrow I\left( \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2};\dfrac{f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)}{2} \right)=\left( -b; \dfrac{1}{3} \right)$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Mà $I$ thuộc đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ nên
$-\dfrac{{{b}^{3}}}{3}+{{b}^{3}}-bc-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow 2{{b}^{3}}-3bc-2=0\Leftrightarrow c=\dfrac{2{{b}^{3}}-2}{3b} \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra:
$\left( 2b+1 \right)\left( 4b-1 \right)b=3\left( 2{{b}^{3}}-2 \right)\Leftrightarrow 2{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}-b+6=0\Leftrightarrow b=-2\Rightarrow c=3$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x-\dfrac{1}{3}\Rightarrow 3f\left( x \right)+1=x{{\left( x-3 \right)}^{2}}$
$\Rightarrow y=g\left( x \right)=f\left( \dfrac{x\left( 3f\left( x \right)+1 \right)}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}} \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)$
Ta thấy ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=1 \\
& {{x}_{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=1 \\
& {{x}^{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm 1 \\
& x=\pm \sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng xét dấu của ${g}'\left( x \right)$ :
Vậy hàm số đã cho có $3$ điểm cực tiểu.