Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{5}}+b{{x}^{4}}+c{{x}^{3}}+d{{x}^{2}}+ex+f~\left( a\ne 0 \right)$ và hàm số $f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Gọi $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x-m$. Hàm số $y=\left| g\left( x \right) \right|$ có tối đa bao nhiêu điểm cực trị.
A. $5$.
B. $6$.
C. $9$.
D. $8$.
A. $5$.
B. $6$.
C. $9$.
D. $8$.
Từ đồ thị $f'\left( x \right)=5a{{x}^{4}}+4b{{x}^{3}}+3c{{x}^{2}}+2dx+e$ suy ra $a>0$.
Ta có $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-{{x}^{2}}-x-2$ nên $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\text{lim}}} g'\left( x \right)=+\infty $.
Ta có $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-{{x}^{2}}-x-2$.
Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)={{x}^{2}}+x+2$ (1).
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị $y=f'\left( x \right)$ và đồ thị hs
$y={{x}^{2}}+x+2$.
$g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-{{x}^{2}}-x-2$ là đa thức bậc 4 với hệ số lớn nhất $a>0$.
Dựa đồ thị ta có $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\text{lim}}} g'\left( x \right)=c<0$ (với $c$ là hằng số) và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\text{lim}}} g'\left( x \right)=+\infty $. Vậy phương trình $g'\left( x \right)=0$ có ít nhất 1 nghiệm ${{x}_{0}}>1$.
Dựa vào đồ thị $g'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm $\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-2 \\
x=-1 \\
x=1 \\
\end{array} \right.$.
Mà $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-{{x}^{2}}-x-2=0$ là phương trình bậc 4 có tối đa 4 nghiệm.
Kết luận: $g'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-2 \\
x=-1 \\
x=1 \\
x={{x}_{0}}>1 \\
\end{array} \right.$.
Cũng dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x-m$ có 4 cực trị.
Phương trình $g\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x-m=0$ có tối đa 5 nghiệm phân biệt khác với các nghiệm $g'\left( x \right)=0$.
Vậy hàm số $y=\left| g\left( x \right) \right|$ có tối đa 9 điểm cực trị.
Ta có $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-{{x}^{2}}-x-2$ nên $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\text{lim}}} g'\left( x \right)=+\infty $.
Ta có $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-{{x}^{2}}-x-2$.
Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)={{x}^{2}}+x+2$ (1).
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị $y=f'\left( x \right)$ và đồ thị hs
$y={{x}^{2}}+x+2$.
$g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-{{x}^{2}}-x-2$ là đa thức bậc 4 với hệ số lớn nhất $a>0$.
Dựa đồ thị ta có $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\text{lim}}} g'\left( x \right)=c<0$ (với $c$ là hằng số) và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\text{lim}}} g'\left( x \right)=+\infty $. Vậy phương trình $g'\left( x \right)=0$ có ít nhất 1 nghiệm ${{x}_{0}}>1$.
Dựa vào đồ thị $g'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm $\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-2 \\
x=-1 \\
x=1 \\
\end{array} \right.$.
Mà $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-{{x}^{2}}-x-2=0$ là phương trình bậc 4 có tối đa 4 nghiệm.
Kết luận: $g'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-2 \\
x=-1 \\
x=1 \\
x={{x}_{0}}>1 \\
\end{array} \right.$.
Cũng dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x-m$ có 4 cực trị.
Phương trình $g\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x-m=0$ có tối đa 5 nghiệm phân biệt khác với các nghiệm $g'\left( x \right)=0$.
Vậy hàm số $y=\left| g\left( x \right) \right|$ có tối đa 9 điểm cực trị.
Đáp án C.