Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+\dfrac{13}{2}{{x}^{2}}-12x-{{e}^{x}}-2022$. Cho biết bất phương trình ẩn m sau đây $f\left[ {{\log }_{0,5}}\left( {{\log }_{2}}\left( 2m+1 \right) \right)-2021 \right]<f\left[ f\left( 0 \right) \right]$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 14.
B. 10.
C. 11.
D. 7.
A. 14.
B. 10.
C. 11.
D. 7.
Điều kiện: $m>2.$
$y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+\dfrac{13}{2}{{x}^{2}}-12x-{{e}^{x}}-2022$
$y'=f'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+13x-12-{{e}^{x}}=-3{{\left( x-2 \right)}^{2}}+x-{{e}^{x}}<0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó,
$f\left( {{\log }_{0,5}}\left( {{\log }_{2}}\left( 2m+1 \right) \right)-2021 \right)<f\left( f\left( 0 \right) \right)\Leftrightarrow {{\log }_{0,5}}\left( {{\log }_{2}}\left( 2m+1 \right) \right)-2021>f\left( 0 \right)=-2023$
$\Leftrightarrow {{\log }_{0,5}}\left( {{\log }_{2}}\left( 2m+1 \right) \right)>-2\Leftrightarrow 0<{{\log }_{2}}\left( 2m+1 \right)<4\Leftrightarrow 1<2m+1<16\Leftrightarrow 0<m<\dfrac{15}{2}$
Vậy có 7 nghiệm nguyên.
$y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+\dfrac{13}{2}{{x}^{2}}-12x-{{e}^{x}}-2022$
$y'=f'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+13x-12-{{e}^{x}}=-3{{\left( x-2 \right)}^{2}}+x-{{e}^{x}}<0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó,
$f\left( {{\log }_{0,5}}\left( {{\log }_{2}}\left( 2m+1 \right) \right)-2021 \right)<f\left( f\left( 0 \right) \right)\Leftrightarrow {{\log }_{0,5}}\left( {{\log }_{2}}\left( 2m+1 \right) \right)-2021>f\left( 0 \right)=-2023$
$\Leftrightarrow {{\log }_{0,5}}\left( {{\log }_{2}}\left( 2m+1 \right) \right)>-2\Leftrightarrow 0<{{\log }_{2}}\left( 2m+1 \right)<4\Leftrightarrow 1<2m+1<16\Leftrightarrow 0<m<\dfrac{15}{2}$
Vậy có 7 nghiệm nguyên.
Đáp án D.